Proporzionalità diretta e inversa — Formule ed esempi

La proporzionalità diretta significa che due grandezze cambiano dello stesso fattore, quindi il loro rapporto resta costante. La proporzionalità inversa significa che una grandezza aumenta mentre l’altra diminuisce in modo tale che il prodotto resti costante. In breve, la proporzionalità diretta usa $y = kx$, mentre la proporzionalità inversa usa $y = \frac{k}{x}$.

Proporzionalità diretta e inversa a colpo d’occhio

Se due grandezze sono direttamente proporzionali, raddoppiare una raddoppia anche l’altra. Se sono inversamente proporzionali, raddoppiare una dimezza l’altra.

Le formule standard sono:

$$y = kx$$

per la proporzionalità diretta, e

$$y = \frac{k}{x}$$

per la proporzionalità inversa, dove $k$ è una costante e $x \ne 0$.

Il test più rapido è:

• Proporzionalità diretta: $\frac{y}{x}$ resta costante.
• Proporzionalità inversa: $xy$ resta costante.

Che cosa significa proporzionalità diretta

Nella proporzionalità diretta, una grandezza è sempre un multiplo fisso dell’altra. Se le penne costano $2$ dollari ciascuna, allora il costo totale $C$ è direttamente proporzionale al numero di penne $n$:

$$C = 2n$$

Qui la costante di proporzionalità è $k = 2$. Il rapporto $\frac{C}{n}$ resta uguale a $2$ finché il prezzo unitario rimane lo stesso.

Questa condizione è importante. Se c’è una tariffa fissa di consegna o uno sconto per quantità, la relazione non è più una proporzionalità diretta.

Che cosa significa proporzionalità inversa

Nella proporzionalità inversa, resta fisso il prodotto invece del rapporto. Un esempio comune è il tempo e il numero di lavoratori per lo stesso lavoro, se ogni lavoratore lavora allo stesso ritmo e si ignorano le perdite di coordinamento.

Se $w$ è il numero di lavoratori e $t$ è il tempo, allora

$$wt = k$$

Quindi raddoppiare il numero di lavoratori dimezza il tempo.

Questo è un modello di proporzionalità inversa solo quando il lavoro totale resta fisso e tutti i lavoratori sono ugualmente efficaci. Nei progetti reali, aggiungere lavoratori non sempre riduce il tempo in modo perfetto.

Esempio svolto: proporzionalità diretta e inversa

La differenza è più facile da vedere mettendole a confronto.

Esempio di proporzionalità diretta

Supponi che $4$ quaderni costino $12$ dollari a prezzo fisso.

Il costo per quaderno è

$$k = \frac{12}{4} = 3$$

Quindi la formula della proporzionalità diretta è

$$C = 3n$$

Se compri $7$ quaderni, allora

$$C = 3(7) = 21$$

Quindi $7$ quaderni costano $21$ dollari.

Esempio di proporzionalità inversa

Ora supponi che $4$ lavoratori possano finire lo stesso lavoro in $6$ ore, con uguale ritmo di lavoro e la stessa quantità totale di lavoro.

Il prodotto costante è

$$k = wt = 4 \cdot 6 = 24$$

Quindi la formula della proporzionalità inversa è

$$t = \frac{24}{w}$$

Se il lavoro viene svolto da $8$ lavoratori, allora

$$t = \frac{24}{8} = 3$$

Quindi il lavoro richiede $3$ ore.

Il contrasto è l’idea principale:

• Nel caso diretto, il rapporto è rimasto costante: $\frac{12}{4} = \frac{21}{7} = 3$.
• Nel caso inverso, il prodotto è rimasto costante: $4 \cdot 6 = 8 \cdot 3 = 24$.

Errori comuni con la proporzionalità diretta e inversa

Scambiare qualsiasi andamento crescente per proporzionalità diretta

Non ogni relazione crescente è una proporzionalità diretta. Per la proporzionalità diretta, il rapporto deve restare costante e il modello deve essere della forma $y = kx$.

Per esempio, $y = x + 5$ cresce quando $x$ cresce, ma non è una proporzionalità diretta perché $\frac{y}{x}$ non è costante.

Scambiare qualsiasi andamento decrescente per proporzionalità inversa

Non ogni relazione decrescente è una proporzionalità inversa. Per la proporzionalità inversa, il prodotto deve restare costante.

Per esempio, $y = 10 - x$ diminuisce, ma $xy$ non resta costante, quindi non è una proporzionalità inversa.

Ignorare la condizione che fa funzionare il modello

Queste formule dipendono dal fatto che la situazione resti semplice. Un prezzo unitario fisso supporta la proporzionalità diretta. Un lavoro totale fisso con uguale ritmo dei lavoratori supporta la proporzionalità inversa. Se questa condizione cambia, il modello può non funzionare più.

Dove si usano la proporzionalità diretta e inversa

La proporzionalità diretta compare negli acquisti a prezzo costante, nelle scale delle mappe, nelle conversioni di unità e nella distanza percorsa a velocità fissa.

La proporzionalità inversa compare nei problemi di ritmo di lavoro, nella velocità e nel tempo di viaggio per una distanza fissa, e in semplici relazioni di fisica in cui una grandezza deve diminuire per mantenerne un’altra costante.

In entrambi i casi, l’abilità chiave è capire che cosa resta costante.

Come capire se una relazione è diretta o inversa

Se non sei sicuro di quale modello si adatti, prova prima una coppia di valori nota.

1. Calcola $\frac{y}{x}$. Se resta uguale in tutti i punti dati validi, pensa alla proporzionalità diretta.
2. Calcola $xy$. Se invece resta uguale questo, pensa alla proporzionalità inversa.
3. Se nessuno dei due resta costante, la relazione probabilmente non è nessuna delle due.

Prova un esercizio simile

Cambia un numero in ciascun esempio mantenendo la stessa condizione. Nell’esempio dei quaderni, cambia il prezzo unitario. Nell’esempio dei lavoratori, cambia il numero di lavoratori e controlla se il prodotto resta ancora fisso.