Equazioni lineari

Un’equazione lineare rappresenta una relazione a tasso costante. Con una variabile, chiede il valore che rende vera un’uguaglianza, spesso nella forma $ax + b = c$ con $a \ne 0$. Con due variabili, descrive una retta su un grafico.

L’idea chiave è il cambiamento costante. Se variazioni uguali di $x$ producono sempre variazioni uguali di $y$, la relazione è lineare. Per questo le equazioni lineari compaiono nella paga oraria, nella velocità costante e in qualsiasi situazione con un valore iniziale più la stessa variazione a ogni passo.

Cosa rende lineare un’equazione lineare

Un’equazione è lineare se ogni termine con variabile è di primo grado. Questo significa niente quadrati come $x^2$, niente prodotti come $xy$ in un contesto introduttivo di algebra e nessuna variabile al denominatore.

Per esempio, queste sono lineari:

• $3x - 7 = 11$
• $y = 2x + 5$
• $4x + 3y = 12$

Queste non sono lineari:

• $x^2 + 1 = 0$
• $xy = 10$
• $y = \frac{1}{x}$

Due casi comuni: risoluzione e grafico

In un problema con una variabile, l’obiettivo di solito è trovare il numero incognito. In $3x - 7 = 11$, vuoi trovare il valore di $x$ che rende vera l’equazione.

In un problema con due variabili, l’obiettivo è spesso capire una relazione. In $y = 2x + 5$, l’equazione dice come cambia $y$ quando cambia $x$, e il suo grafico è una retta.

Esempio svolto: risolvi $3x - 7 = 11$

Inizia annullando le operazioni attorno a $x$ in ordine inverso.

Aggiungi $7$ a entrambi i membri:

$$3x - 7 + 7 = 11 + 7$$

quindi

$$3x = 18$$

Ora dividi entrambi i membri per $3$:

$$x = 6$$

Controlla la risposta nell’equazione originale:

$$3(6) - 7 = 18 - 7 = 11$$

La verifica funziona, quindi $x = 6$ è corretto. Questo è il passaggio fondamentale nella risoluzione di un’equazione lineare: isola la variabile, poi verifica il risultato nell’equazione originale.

Perché il grafico è una retta

Per un’equazione lineare in due variabili come $y = 2x + 1$, la variazione di $y$ resta costante. Se $x$ aumenta di $1$, allora $y$ aumenta di $2$ ogni volta. Un tasso di variazione costante produce una retta invece di una curva.

Se il tasso di variazione non è costante, il grafico di solito non sarà una retta. Per esempio, $y = x^2$ curva verso l’alto perché la variazione di $y$ diventa più grande man mano che $x$ aumenta.

Errori comuni nella risoluzione delle equazioni lineari

Un errore comune è considerare lineare qualsiasi equazione con sia $x$ sia $y$. Questo vale solo se le variabili restano alla prima potenza e la relazione ha una variazione costante.

Un altro errore è eseguire un’operazione solo su un lato mentre si risolve. Se aggiungi, sottrai, moltiplichi o dividi a sinistra, devi fare la stessa cosa a destra per mantenere l’equazione in equilibrio.

Un terzo errore è dividere per un coefficiente senza controllare la condizione. In $ax + b = c$, risolvere dividendo presuppone che $a \ne 0$. Se $a = 0$, l’equazione non è più una normale equazione lineare in una variabile.

Dove si usano le equazioni lineari

Le equazioni lineari compaiono ogni volta che una quantità cambia a un ritmo costante. Le trovi nel budget, nei problemi di distanza e tempo, nel prezzo unitario e in semplici modelli di fisica.

Spesso sono il primo modello utile perché sono semplici da risolvere, semplici da rappresentare graficamente e facili da interpretare. In un intervallo limitato, anche dati più complessi vengono spesso approssimati con una retta.

Prova un problema simile

Prova a risolvere $5x + 4 = 19$ e controlla la risposta per sostituzione. Se vuoi esplorare un altro caso, riscrivi $y - 3 = 2x$ come $y = 2x + 3$ e descrivi cosa succede a $y$ quando $x$ aumenta di $1$.