Derivazione — Regole ed esempi

Derivare significa trovare una derivata. Una derivata indica quanto velocemente una funzione cambia in un punto, quindi in analisi si usa per problemi di pendenza e tasso di variazione.

Il modo più rapido per scegliere la regola giusta è guardare prima la struttura. L’espressione è una potenza come $x^5$, una somma come $x^3 + 2x$, un prodotto come $x^2 e^x$, oppure una funzione dentro un’altra funzione come $(3x+1)^4$? La regola di derivazione dipende da questa struttura.

Quale regola di derivazione dovresti usare?

Inizia dalla forma più esterna dell’espressione.

• Se l’espressione è una singola potenza di $x$, usa la regola di derivazione delle potenze.
• Se i termini sono sommati o sottratti, deriva termine per termine.
• Se due espressioni variabili sono moltiplicate, usa la regola del prodotto.
• Se un’espressione variabile è divisa per un’altra, usa la regola del quoziente.
• Se una funzione è contenuta dentro un’altra, usa la regola della catena.

Molti esercizi richiedono più di una regola. In quel caso, scegli prima la regola che corrisponde alla struttura esterna.

Principali regole di derivazione

Regola della costante

Se $c$ è una costante, allora:

$$\frac{d}{dx}(c) = 0$$

Un numero fisso non cambia quando cambia $x$.

Regola della potenza

Se $n$ è un numero reale, allora:

$$\frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1}$$

Esempio: $\frac{d}{dx}(x^4) = 4x^3$.

Regola del multiplo costante

Se $c$ è costante e $f$ è derivabile, allora:

$$\frac{d}{dx}[cf(x)] = c f'(x)$$

La costante resta davanti.

Regola della somma e della differenza

Se $f$ e $g$ sono derivabili, allora:

$$\frac{d}{dx}[f(x) \pm g(x)] = f'(x) \pm g'(x)$$

Deriva ogni termine separatamente, poi mantieni lo stesso segno più o meno.

Regola del prodotto

Se $f$ e $g$ sono derivabili, allora:

$$\frac{d}{dx}[f(x)g(x)] = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$$

Usa questa regola quando entrambi i fattori dipendono da $x$.

Regola del quoziente

Se $f$ e $g$ sono derivabili e $g(x) \ne 0$, allora:

$$\frac{d}{dx}\left[\frac{f(x)}{g(x)}\right] = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{[g(x)]^2}$$

La condizione $g(x) \ne 0$ è importante perché la divisione per zero non è definita.

Regola della catena

Se $y = f(g(x))$, e entrambe le funzioni sono derivabili dove necessario, allora:

$$\frac{d}{dx}f(g(x)) = f'(g(x)) \cdot g'(x)$$

Usa questa regola quando una funzione è annidata dentro un’altra.

Perché la struttura conta nella derivazione

Le regole di derivazione sono scorciatoie per forme comuni di espressioni. Se l’espressione è semplice, spesso basta una sola regola. Se è costruita da più parti, bisogna combinare le regole.

Per questo gli studenti spesso commettono errori ancora prima di iniziare a derivare. L’abilità principale non è prima l’algebra. È riconoscere la struttura esterna prima di calcolare qualsiasi cosa.

Esempio di derivazione: regola del prodotto e regola della catena insieme

Trova la derivata di:

$$y = x^2(3x+1)^4$$

La struttura esterna è un prodotto, quindi inizia con la regola del prodotto. Poni:

$$f(x) = x^2 \quad \text{and} \quad g(x) = (3x+1)^4$$

Allora:

$$y' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$$

Deriva il primo fattore:

$$f'(x) = 2x$$

Ora deriva $g(x) = (3x+1)^4$. Qui serve la regola della catena perché l’espressione interna è $3x+1$, non semplicemente $x$:

$$g'(x) = 4(3x+1)^3 \cdot 3 = 12(3x+1)^3$$

Sostituisci entrambe le parti:

$$y' = 2x(3x+1)^4 + x^2 \cdot 12(3x+1)^3$$

Questa è già una derivata corretta. Se vuoi una forma fattorizzata:

$$y' = 2x(3x+1)^3[(3x+1) + 6x]$$ $$y' = 2x(3x+1)^3(9x+1)$$

Il passaggio importante non è la fattorizzazione. È notare che l’intera espressione è un prodotto, mentre uno dei fattori richiede anche la regola della catena.

Errori comuni nella derivazione

1. Usare la regola della potenza sull’intera espressione quando la funzione è in realtà un prodotto o un quoziente.
2. Dimenticare la derivata interna nella regola della catena. Per $(3x+1)^4$, la derivata completa è $4(3x+1)^3 \cdot 3$.
3. Derivare un prodotto moltiplicando le derivate. In generale, $[f(x)g(x)]' \ne f'(x)g'(x)$.
4. Perdere di vista le condizioni. La regola del quoziente richiede che il denominatore sia diverso da zero.

Quando si usano le regole di derivazione

Le regole di derivazione compaiono ovunque una quantità cambi rispetto a un’altra. In analisi si usano per le pendenze delle tangenti, l’ottimizzazione e lo studio del grafico.

In fisica, le derivate descrivono grandezze come velocità e accelerazione. In economia o in ingegneria, si usano quando serve una variazione marginale o un tasso di variazione.

Prova un problema simile di derivazione

Deriva $y = (x^3 + 1)(2x - 5)^2$ e decidi quale regola si applica per prima. Se nella tua risposta mancano due termini della regola del prodotto oppure la derivata interna di $(2x - 5)^2$, torna indietro e controlla la struttura esterna prima di semplificare.