Plot Nyquist

Plot Nyquist menunjukkan respons frekuensi suatu sistem sebagai kurva di bidang kompleks. Untuk setiap frekuensi $\omega$, Anda menghitung $G(j\omega)$ atau, dalam masalah umpan balik, fungsi alih loop $L(j\omega)$. Bagian real menjadi koordinat horizontal, bagian imajiner menjadi koordinat vertikal, dan satu titik kini memuat besar dan fase sekaligus.

Cara tercepat membacanya adalah ini: setiap titik mewakili satu frekuensi, jaraknya dari titik asal adalah magnitudo, dan sudutnya terhadap sumbu real positif adalah fase. Itu membuat plot Nyquist berguna bahkan jika Anda hanya ingin memahami bentuk respons frekuensi.

Apa yang Ditunjukkan Plot Nyquist

Mulailah dengan fungsi alih dalam variabel $s$. Untuk mendapatkan respons frekuensi, substitusikan

$$s = j\omega$$

dan hitung ekspresi kompleks yang dihasilkan untuk berbagai nilai $\omega$.

Jika

$$G(j\omega) = x(\omega) + jy(\omega),$$

maka plot Nyquist adalah kurva yang dilacak oleh titik

$$(x(\omega), y(\omega))$$

di bidang kompleks.

Ini penting karena plot tersebut menyatukan dua informasi sekaligus:

• $|G(j\omega)|$ menunjukkan magnitudo.
• $\arg(G(j\omega))$ menunjukkan fase.

Dalam satu grafik, Anda dapat melihat dari mana respons dimulai, bagaimana arahnya berbelok, dan apakah ia mendekati titik asal atau titik penting lainnya.

Intuisi di Balik Kurva

Bayangkan frekuensi seperti menggerakkan sebuah penunjuk di bidang kompleks. Pada setiap frekuensi, sistem menghasilkan satu respons kompleks. Saat $\omega$ berubah, respons itu bergerak, dan seluruh lintasannya adalah plot Nyquist.

Jika sistem memiliki koefisien real, cabang frekuensi negatif merupakan bayangan cermin dari cabang frekuensi positif terhadap sumbu real. Syarat ini penting. Anda hanya boleh menggunakan simetri cermin jika koefisien fungsi alih bernilai real.

Contoh Dikerjakan: $G(s) = \frac{1}{1+s}$

Ambil fungsi alih

$$G(s) = \frac{1}{1+s}.$$

Substitusikan $s = j\omega$:

$$G(j\omega) = \frac{1}{1+j\omega}.$$

Sekarang tulis ulang dalam bentuk rectangular:

$$G(j\omega) = \frac{1-j\omega}{1+\omega^2} = \frac{1}{1+\omega^2} - j\frac{\omega}{1+\omega^2}.$$

Jadi bagian real dan imajinernya adalah

$$x(\omega) = \frac{1}{1+\omega^2}, \qquad y(\omega) = -\frac{\omega}{1+\omega^2}.$$

Sekarang bentuk kurvanya mudah dibaca.

Saat $\omega = 0$,

$$G(j0) = 1,$$

jadi plot dimulai di titik $1$ pada sumbu real.

Saat $\omega \to \infty$,

$$G(j\omega) \to 0,$$

jadi kurva bergerak menuju titik asal.

Untuk $\omega$ positif, bagian imajiner bernilai negatif, sehingga cabang frekuensi positif berada di setengah bidang bawah.

Anda bisa melangkah satu tahap lagi dan menentukan kurva tepatnya. Titik-titik ini memenuhi

$$x^2 + y^2 = x,$$

yang ekuivalen dengan

$$\left(x - \frac{1}{2}\right)^2 + y^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2.$$

Jadi cabang frekuensi positif melacak setengah bawah sebuah lingkaran yang berpusat di $\left(\frac{1}{2}, 0\right)$ dengan jari-jari $\frac{1}{2}$. Karena sistem ini memiliki koefisien real, cabang frekuensi negatif mencerminkannya terhadap sumbu real dan melengkapi lingkaran tersebut.

Contoh ini menunjukkan gagasan utamanya dalam bentuk yang bersih: plot Nyquist hanyalah lintasan geometris yang dilacak oleh fungsi bernilai kompleks terhadap frekuensi.

Cara Membaca Plot Nyquist dengan Cepat

Saat pertama kali melihat plot Nyquist, ajukan empat pertanyaan:

1. Di mana kurva dimulai saat $\omega = 0$?
2. Ke mana kurva bergerak saat $\omega$ menjadi besar?
3. Cabang frekuensi positif berada di setengah bidang yang mana?
4. Apakah kurva melewati dekat atau mengelilingi titik kritis yang penting untuk tugas tersebut?

Untuk interpretasi dasar, tiga pertanyaan pertama biasanya sudah cukup. Untuk kestabilan loop tertutup pada umpan balik satuan, titik kritisnya adalah $-1 + 0j$, dan makna pengelilingan bergantung pada pole loop terbuka serta fungsi yang diplot. Syarat itu harus dinyatakan terlebih dahulu sebelum menggunakan kriteria kestabilan Nyquist.

Kesalahan Umum pada Plot Nyquist

Menganggapnya Seperti Plot $x$-$y$ Biasa

Koordinat horizontal dan vertikal bukan dua besaran terukur yang tidak saling terkait. Keduanya adalah bagian real dan imajiner dari satu respons kompleks.

Mengabaikan Arah Kenaikan Frekuensi

Bentuk kurva yang sama bisa berarti hal yang berbeda jika Anda tidak tahu ke arah mana frekuensi bertambah sepanjang lintasan.

Mengasumsikan Simetri Cermin Tanpa Memeriksa

Untuk sistem dengan koefisien real, simetri memungkinkan Anda merekonstruksi cabang frekuensi negatif. Jika syarat itu tidak terpenuhi, Anda tidak boleh mengasumsikan bayangan cermin yang sederhana.

Menggunakan Aturan Kestabilan Tanpa Menyatakan Pengaturannya

Kriteria kestabilan Nyquist sangat kuat, tetapi bergantung pada fungsi apa yang sedang diplot dan pada sifat sistem loop terbuka. Jumlah pengelilingan hanya bermakna setelah pengaturan itu dinyatakan secara eksplisit.

Kapan Plot Nyquist Digunakan

Plot Nyquist paling umum digunakan dalam sistem kendali, ketika Anda ingin melihat magnitudo dan fase dalam satu gambar alih-alih memisahkannya ke grafik yang berbeda. Plot ini berguna untuk membandingkan respons frekuensi, menilai bagaimana umpan balik mungkin berperilaku, dan memeriksa seberapa dekat suatu sistem dengan batas kestabilan penting.

Plot ini juga muncul dalam analisis sinyal dan rangkaian ketika respons frekuensi kompleks itu sendiri menjadi objek utama yang ingin dikaji. Bahkan di luar uji kestabilan formal, plot ini adalah cara cepat untuk melihat bagaimana suatu sistem bergerak di bidang kompleks saat frekuensi berubah.

Coba Soal Serupa

Coba versi Anda sendiri dengan

$$G(s) = \frac{1}{(1+s)^2}.$$

Hitung $G(j\omega)$, pisahkan bagian real dan imajinernya, lalu sketsakan di mana plot dimulai, cabang frekuensi positif masuk ke setengah bidang mana, dan di mana plot berakhir. Jika ingin melangkah satu tahap lagi, periksa apakah kurvanya masih memiliki bentuk geometris yang sederhana atau tidak.