Wykres Nyquista

Wykres Nyquista przedstawia odpowiedź częstotliwościową układu jako krzywą na płaszczyźnie zespolonej. Dla każdej częstotliwości $\omega$ obliczasz $G(j\omega)$ albo, w zadaniach ze sprzężeniem zwrotnym, transmitancję pętli $L(j\omega)$. Część rzeczywista staje się współrzędną poziomą, część urojona współrzędną pionową, a jeden punkt niesie jednocześnie informację o module i fazie.

Najszybszy sposób odczytu jest taki: każdy punkt odpowiada jednej częstotliwości, odległość od początku układu to moduł, a kąt względem dodatniej osi rzeczywistej to faza. Dzięki temu wykres Nyquista jest użyteczny nawet wtedy, gdy chcesz tylko zrozumieć kształt odpowiedzi częstotliwościowej.

Co pokazuje wykres Nyquista

Zacznij od transmitancji w zmiennej $s$. Aby otrzymać odpowiedź częstotliwościową, podstaw

$$s = j\omega$$

i oblicz otrzymane wyrażenie zespolone dla różnych wartości $\omega$.

Jeśli

$$G(j\omega) = x(\omega) + jy(\omega),$$

to wykres Nyquista jest krzywą wyznaczoną przez punkt

$$(x(\omega), y(\omega))$$

na płaszczyźnie zespolonej.

To jest ważne, ponieważ wykres zachowuje razem dwie informacje:

• $|G(j\omega)|$ mówi o module.
• $\arg(G(j\omega))$ mówi o fazie.

Na jednym wykresie możesz zobaczyć, gdzie odpowiedź się zaczyna, jak skręca i czy zbliża się do początku układu lub innego ważnego punktu.

Intuicja stojąca za tą krzywą

Pomyśl o częstotliwości jak o czymś, co przesuwa wskaźnik po płaszczyźnie zespolonej. Dla każdej częstotliwości układ daje jedną odpowiedź zespoloną. Gdy $\omega$ się zmienia, ta odpowiedź się przemieszcza, a cała ścieżka to wykres Nyquista.

Jeśli układ ma rzeczywiste współczynniki, gałąź dla częstotliwości ujemnych jest lustrzanym odbiciem gałęzi dla częstotliwości dodatnich względem osi rzeczywistej. Ten warunek ma znaczenie. Z symetrii lustrzanej należy korzystać tylko wtedy, gdy współczynniki transmitancji są rzeczywiste.

Przykład obliczeniowy: $G(s) = \frac{1}{1+s}$

Weź transmitancję

$$G(s) = \frac{1}{1+s}.$$

Podstaw $s = j\omega$:

$$G(j\omega) = \frac{1}{1+j\omega}.$$

Teraz zapisz ją w postaci algebraicznej:

$$G(j\omega) = \frac{1-j\omega}{1+\omega^2} = \frac{1}{1+\omega^2} - j\frac{\omega}{1+\omega^2}.$$

Zatem część rzeczywista i urojona są równe

$$x(\omega) = \frac{1}{1+\omega^2}, \qquad y(\omega) = -\frac{\omega}{1+\omega^2}.$$

Teraz kształt łatwo odczytać.

Gdy $\omega = 0$,

$$G(j0) = 1,$$

więc wykres zaczyna się w punkcie $1$ na osi rzeczywistej.

Gdy $\omega \to \infty$,

$$G(j\omega) \to 0,$$

więc krzywa przesuwa się w stronę początku układu.

Dla dodatnich $\omega$ część urojona jest ujemna, więc gałąź dla dodatnich częstotliwości leży w dolnej półpłaszczyźnie.

Możesz pójść o krok dalej i wyznaczyć dokładną krzywą. Te punkty spełniają warunek

$$x^2 + y^2 = x,$$

co jest równoważne

$$\left(x - \frac{1}{2}\right)^2 + y^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2.$$

Zatem gałąź dla dodatnich częstotliwości kreśli dolną połowę okręgu o środku w punkcie $\left(\frac{1}{2}, 0\right)$ i promieniu $\frac{1}{2}$. Ponieważ ten układ ma rzeczywiste współczynniki, gałąź dla częstotliwości ujemnych jest jej lustrzanym odbiciem względem osi rzeczywistej i dopełnia cały okrąg.

Ten przykład pokazuje główną ideę w czystej postaci: wykres Nyquista to po prostu geometryczny tor wyznaczany przez zespoloną funkcję częstotliwości.

Jak szybko odczytać wykres Nyquista

Gdy po raz pierwszy widzisz wykres Nyquista, zadaj cztery pytania:

1. Gdzie zaczyna się krzywa, gdy $\omega = 0$?
2. Dokąd zmierza, gdy $\omega$ staje się duże?
3. Którą półpłaszczyznę zajmuje gałąź dla dodatnich częstotliwości?
4. Czy krzywa przechodzi blisko jakiegoś punktu krytycznego albo go okrąża, jeśli ma to znaczenie dla zadania?

Do podstawowej interpretacji zwykle wystarczają pierwsze trzy pytania. Dla stabilności układu zamkniętego przy jednostkowym sprzężeniu zwrotnym punktem krytycznym jest $-1 + 0j$, a znaczenie okrążeń zależy zarówno od biegunów układu otwartego, jak i od rysowanej funkcji. Ten warunek należy jasno podać przed użyciem kryterium stabilności Nyquista.

Typowe błędy przy wykresie Nyquista

Traktowanie go jak zwykłego wykresu $x$-$y$

Współrzędne pozioma i pionowa nie są dwiema niezależnymi wielkościami pomiarowymi. Są częścią rzeczywistą i urojoną jednej odpowiedzi zespolonej.

Ignorowanie kierunku wzrostu częstotliwości

Ten sam kształt krzywej może znaczyć coś innego, jeśli nie wiesz, w którą stronę częstotliwość rośnie wzdłuż toru.

Zakładanie symetrii lustrzanej bez sprawdzenia

Dla układów o rzeczywistych współczynnikach symetria pozwala odtworzyć gałąź dla częstotliwości ujemnych. Jeśli ten warunek nie jest spełniony, nie należy zakładać prostego odbicia lustrzanego.

Stosowanie reguł stabilności bez określenia założeń

Kryterium stabilności Nyquista jest bardzo silnym narzędziem, ale zależy od tego, jaka funkcja jest rysowana, oraz od własności układu otwartego. Liczba okrążeń ma sens dopiero wtedy, gdy te założenia są jasno określone.

Kiedy używa się wykresu Nyquista

Wykresy Nyquista są najczęściej spotykane w teorii sterowania, gdy chcesz mieć moduł i fazę na jednym rysunku zamiast rozdzielać je na osobne wykresy. Są przydatne do porównywania odpowiedzi częstotliwościowych, oceny zachowania sprzężenia zwrotnego i sprawdzania, jak blisko układ może być ważnej granicy stabilności.

Pojawiają się też w analizie sygnałów i obwodów wszędzie tam, gdzie sama zespolona odpowiedź częstotliwościowa jest głównym obiektem zainteresowania. Nawet poza formalnymi testami stabilności wykres jest szybkim sposobem zobaczenia, jak układ porusza się po płaszczyźnie zespolonej wraz ze zmianą częstotliwości.

Spróbuj podobnego zadania

Spróbuj własnej wersji dla

$$G(s) = \frac{1}{(1+s)^2}.$$

Oblicz $G(j\omega)$, rozdziel część rzeczywistą i urojoną oraz naszkicuj, gdzie wykres się zaczyna, do której półpłaszczyzny wchodzi gałąź dla dodatnich częstotliwości i gdzie się kończy. Jeśli chcesz pójść o krok dalej, sprawdź, czy krzywa nadal ma prosty kształt geometryczny.