Diagrama de Nyquist

Um diagrama de Nyquist mostra a resposta em frequência de um sistema como uma curva no plano complexo. Para cada frequência $\omega$, você avalia $G(j\omega)$ ou, em problemas de realimentação, a função de transferência em malha aberta $L(j\omega)$. A parte real vira a coordenada horizontal, a parte imaginária vira a coordenada vertical, e um único ponto passa a carregar tanto o módulo quanto a fase.

A forma mais rápida de ler esse gráfico é a seguinte: cada ponto corresponde a uma frequência, a distância até a origem é o módulo, e o ângulo em relação ao eixo real positivo é a fase. Isso torna o diagrama de Nyquist útil mesmo quando você só quer entender o formato da resposta em frequência.

O Que Um Diagrama de Nyquist Mostra

Comece com uma função de transferência na variável $s$. Para obter a resposta em frequência, substitua

$$s = j\omega$$

e avalie a expressão complexa resultante para diferentes valores de $\omega$.

Se

$$G(j\omega) = x(\omega) + jy(\omega),$$

então o diagrama de Nyquist é a curva traçada pelo ponto

$$(x(\omega), y(\omega))$$

no plano complexo.

Isso é importante porque o gráfico mantém duas informações juntas:

• $|G(j\omega)|$ informa o módulo.
• $\arg(G(j\omega))$ informa a fase.

Em um único gráfico, você pode ver onde a resposta começa, como ela gira e se se aproxima da origem ou de outro ponto importante.

A Intuição Por Trás Da Curva

Pense na frequência como movendo um ponteiro pelo plano complexo. Em cada frequência, o sistema produz uma resposta complexa. À medida que $\omega$ muda, essa resposta se desloca, e o caminho completo é o diagrama de Nyquist.

Se o sistema tem coeficientes reais, o ramo de frequências negativas é a imagem espelhada do ramo de frequências positivas em relação ao eixo real. Essa condição é importante. Você só deve usar essa simetria de espelhamento quando os coeficientes da função de transferência forem reais.

Exemplo Resolvido: $G(s) = \frac{1}{1+s}$

Considere a função de transferência

$$G(s) = \frac{1}{1+s}.$$

Substitua $s = j\omega$:

$$G(j\omega) = \frac{1}{1+j\omega}.$$

Agora reescreva na forma retangular:

$$G(j\omega) = \frac{1-j\omega}{1+\omega^2} = \frac{1}{1+\omega^2} - j\frac{\omega}{1+\omega^2}.$$

Assim, as partes real e imaginária são

$$x(\omega) = \frac{1}{1+\omega^2}, \qquad y(\omega) = -\frac{\omega}{1+\omega^2}.$$

Agora o formato fica fácil de ler.

Quando $\omega = 0$,

$$G(j0) = 1,$$

então o gráfico começa no ponto $1$ sobre o eixo real.

Quando $\omega \to \infty$,

$$G(j\omega) \to 0,$$

então a curva se move em direção à origem.

Para $\omega$ positivo, a parte imaginária é negativa, então o ramo de frequências positivas fica no semiplano inferior.

Você pode ir um passo além e identificar a curva exata. Esses pontos satisfazem

$$x^2 + y^2 = x,$$

o que é equivalente a

$$\left(x - \frac{1}{2}\right)^2 + y^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2.$$

Portanto, o ramo de frequências positivas traça a metade inferior de um círculo centrado em $\left(\frac{1}{2}, 0\right)$ com raio $\frac{1}{2}$. Como esse sistema tem coeficientes reais, o ramo de frequências negativas é o espelhamento em relação ao eixo real e completa o círculo.

Este exemplo mostra a ideia principal de forma limpa: um diagrama de Nyquist é apenas o caminho geométrico traçado por uma função complexa da frequência.

Como Ler Um Diagrama de Nyquist Rapidamente

Quando você vir um diagrama de Nyquist pela primeira vez, faça quatro perguntas:

1. Onde a curva começa quando $\omega = 0$?
2. Para onde ela vai quando $\omega$ fica grande?
3. Qual semiplano o ramo de frequências positivas ocupa?
4. A curva passa perto de algum ponto crítico ou o contorna, se isso for importante para a tarefa?

Para uma interpretação básica, as três primeiras perguntas geralmente bastam. Para estabilidade em malha fechada com realimentação unitária, o ponto crítico é $-1 + 0j$, e o significado dos contornos depende dos polos de malha aberta, além da função que está sendo plotada. Essa condição deve ser declarada antes de usar o critério de estabilidade de Nyquist.

Erros Comuns Em Diagramas de Nyquist

Tratar Como Um Gráfico $x$-$y$ Comum

As coordenadas horizontal e vertical não são duas grandezas medidas sem relação entre si. Elas são as partes real e imaginária de uma única resposta complexa.

Ignorar Em Que Sentido a Frequência Aumenta

O mesmo formato de curva pode significar coisas diferentes se você não souber em que direção a frequência aumenta ao longo do trajeto.

Supor Simetria de Espelhamento Sem Verificar

Para sistemas com coeficientes reais, a simetria permite reconstruir o ramo de frequências negativas. Se essa condição não for satisfeita, você não deve supor uma imagem espelhada simples.

Usar Regras de Estabilidade Sem Declarar a Configuração

O critério de estabilidade de Nyquist é poderoso, mas depende de qual função está sendo plotada e das propriedades do sistema em malha aberta. A contagem de contornos só faz sentido depois que essa configuração é explicitada.

Quando Um Diagrama de Nyquist É Usado

Diagramas de Nyquist são mais comuns em sistemas de controle, quando você quer módulo e fase em uma única figura em vez de separá-los em gráficos diferentes. Eles são úteis para comparar respostas em frequência, avaliar como a realimentação pode se comportar e verificar o quão perto um sistema pode estar de um limite importante de estabilidade.

Eles também aparecem em análise de sinais e circuitos sempre que a própria resposta em frequência complexa é o principal objeto de interesse. Mesmo fora de testes formais de estabilidade, o gráfico é uma maneira rápida de ver como um sistema se move pelo plano complexo à medida que a frequência muda.

Tente Um Problema Parecido

Tente sua própria versão com

$$G(s) = \frac{1}{(1+s)^2}.$$

Calcule $G(j\omega)$, separe as partes real e imaginária e esboce onde o gráfico começa, em qual semiplano o ramo de frequências positivas entra e onde ele termina. Se quiser ir um passo além, verifique se a curva ainda tem uma forma geométrica simples ou não.