Kriteria Stabilitas Routh-Hurwitz

Kriteria stabilitas Routh-Hurwitz memberi tahu berapa banyak akar polinomial karakteristik yang berada di setengah bidang kanan tanpa harus mencari akar-akarnya secara langsung. Dalam sistem kendali, ini memberi uji cepat untuk menentukan apakah suatu sistem waktu-kontinu stabil asimtotik.

Untuk polinomial berkoefisien real

$$p(s) = a_n s^n + a_{n-1} s^{n-1} + \cdots + a_1 s + a_0,$$

dengan $a_n > 0$, susun tabel Routh lalu periksa kolom pertamanya. Setelah menangani kasus khusus seperti nol pada kolom pertama atau satu baris penuh nol, banyaknya perubahan tanda pada kolom pertama sama dengan banyaknya akar yang memiliki bagian real positif. Jika tidak ada perubahan tanda, semua akar berada di setengah bidang kiri terbuka.

Apa yang diperiksa oleh kriteria Routh-Hurwitz

Dalam kebanyakan masalah kendali, stabilitas berarti setiap akar karakteristik memenuhi $\operatorname{Re}(s) < 0$. Syarat ini penting: kriteria Routh-Hurwitz yang biasa digunakan berlaku untuk sistem waktu-kontinu pada bidang $s$, bukan sistem waktu-diskrit pada bidang $z$.

Nilai praktisnya adalah kecepatan. Anda bisa menentukan stabilitas hanya dari koefisien-koefisiennya, yang sering kali lebih mudah daripada mencari akar eksaknya.

Cara menyusun tabel Routh

Mulailah dengan menuliskan koefisien dalam urutan pangkat $s$ menurun. Dua baris pertama mengisi koefisien secara selang-seling:

$$\begin{array}{c|ccc} s^n & a_n & a_{n-2} & a_{n-4} \\ s^{n-1} & a_{n-1} & a_{n-3} & a_{n-5} \end{array}$$

Lalu hitung baris-baris di bawahnya dari dua baris di atas. Untuk polinomial kubik,

$$p(s) = s^3 + a_1 s^2 + a_2 s + a_3,$$

tabelnya adalah:

$$\begin{array}{c|cc} s^3 & 1 & a_2 \\ s^2 & a_1 & a_3 \\ s^1 & \dfrac{a_1 a_2 - a_3}{a_1} & 0 \\ s^0 & a_3 & 0 \end{array}$$

Jadi untuk polinomial kubik dengan koefisien terdepan positif, stabilitas asimtotik mensyaratkan

$$a_1 > 0,\quad a_2 > 0,\quad a_3 > 0,\quad a_1 a_2 > a_3.$$

Pertidaksamaan terakhir itu adalah bagian yang sering terlewat. Koefisien positif saja belum cukup.

Contoh terperinci: koefisien positif tetapi tidak stabil

Perhatikan

$$p(s) = s^3 + s^2 + 2s + 8.$$

Semua koefisiennya positif, jadi sekilas mungkin tampak stabil. Tabel Routh menunjukkan mengapa kesimpulan itu salah.

$$\begin{array}{c|cc} s^3 & 1 & 2 \\ s^2 & 1 & 8 \\ s^1 & \dfrac{(1)(2) - (1)(8)}{1} & 0 \\ s^0 & 8 & 0 \end{array}$$

Menyederhanakan baris $s^1$ menghasilkan

$$\begin{array}{c|cc} s^3 & 1 & 2 \\ s^2 & 1 & 8 \\ s^1 & -6 & 0 \\ s^0 & 8 & 0 \end{array}$$

Sekarang lihat hanya kolom pertamanya:

$$1,\quad 1,\quad -6,\quad 8.$$

Ada dua perubahan tanda, dari $1$ ke $-6$ dan dari $-6$ ke $8$. Jadi polinomial ini memiliki $2$ akar di setengah bidang kanan, yang berarti sistemnya tidak stabil.

Inilah intuisi utama yang perlu diingat: untuk derajat $3$ ke atas, koefisien positif tidak menjamin stabilitas.

Kesalahan umum pada kriteria Routh-Hurwitz

Hanya memeriksa koefisien

Jika semua koefisien positif, itu tidak otomatis berarti sistem stabil. Contoh terperinci di atas adalah contoh tanding yang tepat.

Lupa domain pengujiannya

Kriteria Routh-Hurwitz yang umum berlaku untuk polinomial karakteristik waktu-kontinu dalam $s$. Jika Anda mempelajari sistem waktu-diskrit, Anda memerlukan uji yang berbeda.

Mengabaikan kasus khusus

Nol pada kolom pertama atau satu baris penuh nol adalah kasus khusus, bukan titik berhenti yang normal. Kasus-kasus ini memerlukan prosedur tambahan, sering kali melibatkan perturbasi kecil atau polinomial bantu.

Tidak menormalkan polinomial

Paling aman menuliskan polinomial dalam urutan pangkat $s$ menurun dan memastikan koefisien terdepan positif sebelum menyusun tabel. Jika tidak, uji tanda mudah salah dibaca.

Kapan kriteria Routh-Hurwitz digunakan

Gunakan kriteria Routh-Hurwitz ketika suatu model menghasilkan polinomial karakteristik dan Anda membutuhkan jawaban stabilitas dengan cepat.

Dalam sistem kendali, kriteria ini memeriksa apakah sistem loop tertutup stabil tanpa menghitung pole secara eksplisit. Dalam model rangkaian dan mekanik, kriteria ini membantu menguji apakah pilihan parameter menghasilkan respons yang mereda atau justru membesar. Dalam pekerjaan perancangan, kriteria ini berguna untuk mencari rentang parameter yang menjaga sistem tetap stabil.

Kriteria ini sangat membantu ketika mencari akar eksak akan lambat atau tidak diperlukan.

Coba uji stabilitas serupa

Coba proses yang sama pada

$$p(s) = s^3 + 4s^2 + 5s + 2.$$

Susun kolom pertama dan periksa apakah ada perubahan tanda. Lalu bandingkan jawaban Anda dengan syarat kubik $a_1 a_2 > a_3$ untuk melihat bahwa kedua metode memberikan hasil yang sama.