Nyquist-Diagramm

Ein Nyquist-Diagramm zeigt den Frequenzgang eines Systems als Kurve in der komplexen Ebene. Für jede Frequenz $\omega$ berechnet man $G(j\omega)$ oder, bei Rückkopplungsproblemen, die Kreisübertragungsfunktion $L(j\omega)$. Der Realteil wird zur horizontalen Koordinate, der Imaginärteil zur vertikalen Koordinate, und ein einzelner Punkt enthält damit sowohl Betrag als auch Phase.

Am schnellsten liest man es so: Jeder Punkt gehört zu einer Frequenz, der Abstand vom Ursprung ist der Betrag, und der Winkel zur positiven reellen Achse ist die Phase. Dadurch ist ein Nyquist-Diagramm auch dann nützlich, wenn du nur die Form des Frequenzgangs verstehen willst.

Was Ein Nyquist-Diagramm Zeigt

Beginne mit einer Übertragungsfunktion in der Variablen $s$. Um den Frequenzgang zu erhalten, setze

$$s = j\omega$$

ein und werte den entstehenden komplexen Ausdruck für verschiedene Werte von $\omega$ aus.

Wenn

$$G(j\omega) = x(\omega) + jy(\omega),$$

dann ist das Nyquist-Diagramm die Kurve, die der Punkt

$$(x(\omega), y(\omega))$$

in der komplexen Ebene beschreibt.

Das ist wichtig, weil das Diagramm zwei Informationen zusammenhält:

• $|G(j\omega)|$ gibt den Betrag an.
• $\arg(G(j\omega))$ gibt die Phase an.

In einem einzigen Diagramm kannst du sehen, wo die Antwort beginnt, wie sie sich dreht und ob sie sich dem Ursprung oder einem anderen wichtigen Punkt nähert.

Die Intuition Hinter Der Kurve

Stell dir die Frequenz so vor, als würde sie einen Zeiger durch die komplexe Ebene bewegen. Bei jeder Frequenz erzeugt das System eine komplexe Antwort. Wenn sich $\omega$ ändert, bewegt sich diese Antwort, und der gesamte Weg ist das Nyquist-Diagramm.

Wenn das System reelle Koeffizienten hat, ist der Zweig für negative Frequenzen das Spiegelbild des Zweigs für positive Frequenzen an der reellen Achse. Diese Bedingung ist wichtig. Du solltest diese Spiegelsymmetrie nur verwenden, wenn die Koeffizienten der Übertragungsfunktion reell sind.

Durchgerechnetes Beispiel: $G(s) = \frac{1}{1+s}$

Nimm die Übertragungsfunktion

$$G(s) = \frac{1}{1+s}.$$

Setze $s = j\omega$ ein:

$$G(j\omega) = \frac{1}{1+j\omega}.$$

Schreibe sie nun in Rechteckform um:

$$G(j\omega) = \frac{1-j\omega}{1+\omega^2} = \frac{1}{1+\omega^2} - j\frac{\omega}{1+\omega^2}.$$

Damit sind Real- und Imaginärteil

$$x(\omega) = \frac{1}{1+\omega^2}, \qquad y(\omega) = -\frac{\omega}{1+\omega^2}.$$

Jetzt lässt sich die Form leicht ablesen.

Wenn $\omega = 0$ gilt,

$$G(j0) = 1,$$

also beginnt das Diagramm beim Punkt $1$ auf der reellen Achse.

Für $\omega \to \infty$ gilt

$$G(j\omega) \to 0,$$

also bewegt sich die Kurve zum Ursprung.

Für positive $\omega$ ist der Imaginärteil negativ, daher liegt der Zweig für positive Frequenzen in der unteren Halbebene.

Du kannst noch einen Schritt weitergehen und die genaue Kurve bestimmen. Diese Punkte erfüllen

$$x^2 + y^2 = x,$$

was äquivalent ist zu

$$\left(x - \frac{1}{2}\right)^2 + y^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2.$$

Der Zweig für positive Frequenzen beschreibt also die untere Hälfte eines Kreises mit Mittelpunkt $\left(\frac{1}{2}, 0\right)$ und Radius $\frac{1}{2}$. Da dieses System reelle Koeffizienten hat, ist der Zweig für negative Frequenzen das Spiegelbild an der reellen Achse und vervollständigt den Kreis.

Dieses Beispiel zeigt die Grundidee in klarer Form: Ein Nyquist-Diagramm ist einfach der geometrische Weg, den eine komplexwertige Funktion der Frequenz beschreibt.

Wie Man Ein Nyquist-Diagramm Schnell Liest

Wenn du zum ersten Mal ein Nyquist-Diagramm siehst, stelle dir vier Fragen:

1. Wo beginnt die Kurve bei $\omega = 0$?
2. Wohin geht sie, wenn $\omega$ groß wird?
3. In welcher Halbebene liegt der Zweig für positive Frequenzen?
4. Verläuft die Kurve nahe an einem kritischen Punkt oder umschließt sie einen solchen Punkt, der für die Aufgabe wichtig ist?

Für eine grundlegende Interpretation reichen die ersten drei Fragen meist aus. Für die Stabilität des geschlossenen Kreises bei Einheitsrückführung ist der kritische Punkt $-1 + 0j$, und die Bedeutung von Umschließungen hängt sowohl von den Polen des offenen Kreises als auch von der dargestellten Funktion ab. Diese Voraussetzung sollte genannt werden, bevor man das Nyquist-Stabilitätskriterium verwendet.

Häufige Fehler Bei Nyquist-Diagrammen

Es Wie Ein Gewöhnliches $x$-$y$-Diagramm Behandeln

Die horizontalen und vertikalen Koordinaten sind nicht zwei voneinander unabhängige Messgrößen. Sie sind der Real- und Imaginärteil einer einzigen komplexen Antwort.

Ignorieren, In Welche Richtung Die Frequenz Zunimmt

Dieselbe Kurvenform kann Unterschiedliches bedeuten, wenn du nicht weißt, in welche Richtung die Frequenz entlang des Pfads zunimmt.

Spiegelsymmetrie Ohne Prüfung Annehmen

Bei Systemen mit reellen Koeffizienten kannst du mit Symmetrie den Zweig für negative Frequenzen rekonstruieren. Wenn diese Bedingung nicht erfüllt ist, solltest du kein einfaches Spiegelbild annehmen.

Stabilitätsregeln Verwenden, Ohne Den Aufbau Zu Nennen

Das Nyquist-Stabilitätskriterium ist sehr leistungsfähig, aber es hängt davon ab, welche Funktion dargestellt wird und welche Eigenschaften das System im offenen Kreis hat. Die Anzahl der Umschließungen ist erst dann sinnvoll, wenn dieser Aufbau ausdrücklich festgelegt wurde.

Wann Ein Nyquist-Diagramm Verwendet Wird

Nyquist-Diagramme sind in der Regelungstechnik am häufigsten, weil man Betrag und Phase in einem einzigen Bild sehen möchte, statt sie auf zwei getrennte Diagramme aufzuteilen. Sie sind nützlich, um Frequenzgänge zu vergleichen, abzuschätzen, wie sich Rückkopplung verhalten kann, und zu prüfen, wie nahe ein System an einer wichtigen Stabilitätsgrenze liegt.

Sie tauchen auch in der Signal- und Schaltungsanalyse auf, wenn der komplexe Frequenzgang selbst das zentrale Objekt ist. Auch außerhalb formaler Stabilitätstests ist das Diagramm eine schnelle Möglichkeit zu sehen, wie sich ein System mit der Frequenz durch die komplexe Ebene bewegt.

Probiere Eine Ähnliche Aufgabe

Probiere deine eigene Variante mit

$$G(s) = \frac{1}{(1+s)^2}.$$

Berechne $G(j\omega)$, trenne Real- und Imaginärteil und skizziere, wo das Diagramm beginnt, in welche Halbebene der Zweig für positive Frequenzen eintritt und wo er endet. Wenn du noch einen Schritt weitergehen willst, prüfe, ob die Kurve immer noch eine einfache geometrische Form hat oder nicht.