Transformasi Laplace — Tabel, Sifat & Invers

Transformasi Laplace mengubah fungsi domain waktu $f(t)$ menjadi fungsi baru $F(s)$ yang sering kali lebih mudah dikerjakan. Dalam mata kuliah pengantar, fungsi utamanya sederhana: mengubah persamaan diferensial dengan syarat awal menjadi soal aljabar, lalu memakai transformasi Laplace invers untuk kembali ke $t$.

Untuk transformasi Laplace satu sisi yang digunakan di sebagian besar kelas persamaan diferensial, definisinya adalah

$$\mathcal{L}\{f(t)\} = F(s) = \int_0^{\infty} e^{-st} f(t)\,dt$$

ketika integralnya konvergen.

Jika $\operatorname{Re}(s)$ cukup besar, faktor $e^{-st}$ menekan perilaku saat $t$ besar sehingga integral tak wajar itu bisa tetap bernilai hingga. Syarat kekonvergenan itu adalah bagian dari transformasi, bukan catatan tambahan yang bisa diabaikan.

Apa yang dibantu oleh transformasi Laplace

Transformasi ini tidak mengubah makna masalahnya. Transformasi ini hanya mengemas ulang masalah ke dalam bentuk yang membuat diferensiasi menjadi aljabar.

Itulah sebabnya metode ini sangat berguna untuk masalah nilai awal linear. Syarat awal tetap dipertahankan, tetapi persamaannya sendiri biasanya menjadi lebih mudah diselesaikan.

Tabel transformasi Laplace: pasangan yang umum

Inilah entri tabel yang paling sering digunakan mahasiswa. Syarat pada kolom kanan penting karena menunjukkan di mana transformasi itu ada.

$f(t)$	$\mathcal\{L\}\{f(t)\}$	Berlaku saat
$1$	$\frac\{1\}\{s\}$	$\operatorname\{Re\}(s) > 0$
$t$	$\frac\{1\}\{s^2\}$	$\operatorname\{Re\}(s) > 0$
$e^\{at\}$	$\frac\{1\}\{s-a\}$	$\operatorname\{Re\}(s) > a$
$\sin(bt)$	$\frac\{b\}\{s^2+b^2\}$	$\operatorname\{Re\}(s) > 0$
$\cos(bt)$	$\frac\{s\}\{s^2+b^2\}$	$\operatorname\{Re\}(s) > 0$

Jika Anda hanya bekerja dengan contoh bernilai real di kelas, syarat-syarat itu sering ditulis sebagai pertidaksamaan seperti $s > 0$ atau $s > a$. Secara lebih umum, transformasi didefinisikan pada suatu daerah di bidang kompleks $s$.

Sifat transformasi Laplace yang paling sering dipakai

Anda tidak memerlukan daftar yang panjang. Tiga sifat ini menangani sebagian besar soal pada mata kuliah awal.

Linearitas

$$\mathcal{L}\{af(t) + bg(t)\} = aF(s) + bG(s)$$

Sifat ini memungkinkan Anda memecah suatu jumlah menjadi transformasi-transformasi yang lebih sederhana.

Aturan turunan

Jika $f$ kontinu sepotong-sepotong pada setiap interval hingga dan berorde eksponensial, maka

$$\mathcal{L}\{f'(t)\} = sF(s) - f(0)$$

Inilah langkah kunci dalam menyelesaikan masalah nilai awal. Nilai awal muncul secara otomatis, bukan ditambahkan belakangan secara manual.

Pergeseran eksponensial

Jika $\mathcal{L}\{f(t)\} = F(s)$ dan kedua transformasi ada, maka

$$\mathcal{L}\{e^{at}f(t)\} = F(s-a)$$

Inilah alasan banyak entri tabel saling berhubungan melalui pergeseran sederhana pada $s$.

Transformasi Laplace invers: apa artinya

Transformasi Laplace invers dimulai dari $F(s)$ lalu memulihkan fungsi domain waktu $f(t)$.

Secara teori ada rumus invers formal. Namun, dalam kebanyakan soal kelas, Anda tidak menghitung rumus itu secara langsung. Anda menyederhanakan $F(s)$ menjadi bentuk-bentuk tabel yang sudah dikenal, sering kali dengan aljabar atau pecahan parsial, lalu membaca jawabannya dari tabel.

Contoh soal: gunakan transformasi Laplace untuk menyelesaikan masalah nilai awal

Perhatikan

$$y'(t) + y(t) = 1, \qquad y(0) = 0$$

Misalkan

$$Y(s) = \mathcal{L}\{y(t)\}$$

Ambil transformasi Laplace pada kedua ruas:

$$\mathcal{L}\{y'(t)\} + \mathcal{L}\{y(t)\} = \mathcal{L}\{1\}$$

Gunakan aturan turunan dan entri tabel untuk $1$:

$$sY(s) - y(0) + Y(s) = \frac{1}{s}$$

Karena $y(0) = 0$,

$$(s+1)Y(s) = \frac{1}{s}$$

Jadi

$$Y(s) = \frac{1}{s(s+1)}$$

Sekarang pecah menjadi pecahan yang lebih sederhana:

$$\frac{1}{s(s+1)} = \frac{1}{s} - \frac{1}{s+1}$$

Ambil transformasi Laplace invers untuk setiap suku:

$$\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s}\right\} = 1, \qquad \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s+1}\right\} = e^{-t}$$

Maka,

$$y(t) = 1 - e^{-t}$$

Inilah alur kerja lengkap transformasi Laplace dalam satu contoh: transformasikan, selesaikan dalam $s$, lalu ambil inversnya. Persamaan diferensial berubah menjadi soal aljabar, dan syarat awal sudah masuk ke dalam perhitungan sejak awal.

Kesalahan umum dalam transformasi Laplace

Lupa syarat kekonvergenan

Sebuah entri tabel hanya berlaku di tempat integral pendefinisinya konvergen. Jika Anda mengabaikan syarat itu, berarti ada bagian jawaban yang terlewat.

Menghilangkan nilai awal dalam $\mathcal{L}\{f'(t)\}$

Suku $-f(0)$ mudah terlewat. Jika Anda menghilangkannya, persamaan hasil transformasi biasanya akan menyelesaikan masalah yang salah.

Terlalu cepat mengambil invers

Jika $F(s)$ berupa ekspresi rasional, sering kali lebih mudah menyederhanakannya terlebih dahulu. Pecahan parsial adalah langkah yang umum sebelum mengambil transformasi invers.

Kapan transformasi Laplace digunakan

Transformasi Laplace sangat berguna untuk persamaan diferensial biasa linear dengan syarat awal. Itulah penggunaan standar di kelas.

Transformasi ini juga muncul dalam analisis rangkaian, sistem kendali, pemodelan sinyal, dan situasi apa pun ketika respons eksponensial serta masukan domain waktu perlu ditangani secara sistematis.

Coba versi Anda sendiri

Coba alur kerja yang sama pada

$$y'(t) + 2y(t) = 3, \qquad y(0) = 1$$

Transformasikan persamaannya, selesaikan untuk $Y(s)$, lalu ambil inversnya. Jika ingin memeriksa dengan cepat, bandingkan $y(t)$ akhir Anda dengan syarat awal semula dan persamaan diferensial pada $t=0$.