Diagramma di Nyquist

Un diagramma di Nyquist mostra la risposta in frequenza di un sistema come una curva nel piano complesso. Per ogni frequenza $\omega$, si valuta $G(j\omega)$ oppure, nei problemi di retroazione, la funzione di trasferimento d’anello $L(j\omega)$. La parte reale diventa la coordinata orizzontale, la parte immaginaria diventa la coordinata verticale, e un solo punto contiene sia il modulo sia la fase.

Il modo più rapido per leggerlo è questo: ogni punto corrisponde a una frequenza, la distanza dall’origine è il modulo e l’angolo rispetto all’asse reale positivo è la fase. Per questo un diagramma di Nyquist è utile anche se vuoi solo capire la forma della risposta in frequenza.

Cosa Ti Dice Un Diagramma di Nyquist

Parti da una funzione di trasferimento nella variabile $s$. Per ottenere la risposta in frequenza, sostituisci

$$s = j\omega$$

e valuta l’espressione complessa risultante per diversi valori di $\omega$.

Se

$$G(j\omega) = x(\omega) + jy(\omega),$$

allora il diagramma di Nyquist è la curva tracciata dal punto

$$(x(\omega), y(\omega))$$

nel piano complesso.

Questo è importante perché il diagramma tiene insieme due informazioni:

• $|G(j\omega)|$ ti dà il modulo.
• $\arg(G(j\omega))$ ti dà la fase.

In un solo grafico puoi vedere da dove parte la risposta, come ruota e se si avvicina all’origine o a un altro punto importante.

L’Intuizione Dietro la Curva

Pensa alla frequenza come a qualcosa che muove un puntatore nel piano complesso. A ogni frequenza, il sistema produce una risposta complessa. Quando $\omega$ cambia, quella risposta si sposta, e l’intero percorso è il diagramma di Nyquist.

Se il sistema ha coefficienti reali, il ramo a frequenze negative è l’immagine speculare del ramo a frequenze positive rispetto all’asse reale. Questa condizione è importante. Dovresti usare la simmetria speculare solo quando i coefficienti della funzione di trasferimento sono reali.

Esempio Svolto: $G(s) = \frac{1}{1+s}$

Prendi la funzione di trasferimento

$$G(s) = \frac{1}{1+s}.$$

Sostituisci $s = j\omega$:

$$G(j\omega) = \frac{1}{1+j\omega}.$$

Ora riscrivila in forma cartesiana:

$$G(j\omega) = \frac{1-j\omega}{1+\omega^2} = \frac{1}{1+\omega^2} - j\frac{\omega}{1+\omega^2}.$$

Quindi le parti reale e immaginaria sono

$$x(\omega) = \frac{1}{1+\omega^2}, \qquad y(\omega) = -\frac{\omega}{1+\omega^2}.$$

A questo punto la forma è facile da leggere.

Quando $\omega = 0$,

$$G(j0) = 1,$$

quindi il diagramma parte dal punto $1$ sull’asse reale.

Quando $\omega \to \infty$,

$$G(j\omega) \to 0,$$

quindi la curva si muove verso l’origine.

Per $\omega$ positivo, la parte immaginaria è negativa, quindi il ramo a frequenze positive si trova nel semipiano inferiore.

Puoi fare un passo in più e identificare la curva esatta. Questi punti soddisfano

$$x^2 + y^2 = x,$$

che è equivalente a

$$\left(x - \frac{1}{2}\right)^2 + y^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2.$$

Quindi il ramo a frequenze positive traccia la metà inferiore di una circonferenza centrata in $\left(\frac{1}{2}, 0\right)$ con raggio $\frac{1}{2}$. Poiché questo sistema ha coefficienti reali, il ramo a frequenze negative ne è il riflesso rispetto all’asse reale e completa la circonferenza.

Questo esempio mostra l’idea principale in forma pulita: un diagramma di Nyquist è semplicemente il percorso geometrico tracciato da una funzione della frequenza a valori complessi.

Come Leggere Rapidamente Un Diagramma di Nyquist

Quando vedi per la prima volta un diagramma di Nyquist, fatti quattro domande:

1. Da dove parte la curva quando $\omega = 0$?
2. Dove va quando $\omega$ diventa grande?
3. In quale semipiano si trova il ramo a frequenze positive?
4. La curva passa vicino o attorno a qualche punto critico importante per il problema?

Per un’interpretazione di base, di solito bastano le prime tre domande. Per la stabilità in anello chiuso con retroazione unitaria, il punto critico è $-1 + 0j$, e il significato degli avvolgimenti dipende sia dai poli ad anello aperto sia dalla funzione rappresentata. Questa condizione va esplicitata prima di usare il criterio di stabilità di Nyquist.

Errori Comuni con il Diagramma di Nyquist

Trattarlo Come un Normale Grafico $x$-$y$

Le coordinate orizzontale e verticale non sono due grandezze misurate indipendenti. Sono la parte reale e la parte immaginaria di un’unica risposta complessa.

Ignorare in Quale Direzione Aumenta la Frequenza

La stessa forma della curva può significare cose diverse se non sai in quale direzione aumenta la frequenza lungo il percorso.

Supporre la Simmetria Speculare Senza Verificare

Per i sistemi con coefficienti reali, la simmetria permette di ricostruire il ramo a frequenze negative. Se questa condizione non vale, non dovresti assumere una semplice immagine speculare.

Usare Regole di Stabilità Senza Dichiarare l’Impostazione

Il criterio di stabilità di Nyquist è potente, ma dipende da quale funzione viene rappresentata e dalle proprietà del sistema ad anello aperto. Il conteggio degli avvolgimenti ha significato solo dopo che questa impostazione è stata resa esplicita.

Quando Si Usa Un Diagramma di Nyquist

I diagrammi di Nyquist sono più comuni nei sistemi di controllo, dove vuoi avere modulo e fase nello stesso grafico invece di separarli in grafici distinti. Sono utili per confrontare risposte in frequenza, valutare come può comportarsi la retroazione e verificare quanto un sistema sia vicino a un importante limite di stabilità.

Compaiono anche nell’analisi dei segnali e dei circuiti ogni volta che la risposta in frequenza complessa è l’oggetto principale di interesse. Anche al di fuori dei test formali di stabilità, il diagramma è un modo rapido per vedere come un sistema si muove nel piano complesso al variare della frequenza.

Prova Un Problema Simile

Prova una tua versione con

$$G(s) = \frac{1}{(1+s)^2}.$$

Calcola $G(j\omega)$, separa la parte reale e quella immaginaria, e fai uno schizzo di dove parte il diagramma, in quale semipiano entra il ramo a frequenze positive e dove finisce. Se vuoi fare un passo in più, verifica se la curva ha ancora una forma geometrica semplice oppure no.