Nyquist Diyagramı

Bir Nyquist diyagramı, bir sistemin frekans cevabını karmaşık düzlemde bir eğri olarak gösterir. Her bir $\omega$ frekansı için $G(j\omega)$ ya da geri besleme problemlerinde çevrim transfer fonksiyonu $L(j\omega)$ hesaplanır. Gerçel kısım yatay koordinat, sanal kısım dikey koordinat olur ve böylece tek bir nokta hem genliği hem de fazı taşır.

Bunu okumanın en hızlı yolu şudur: her nokta bir frekansı temsil eder, orijine olan uzaklık genliği verir ve pozitif gerçel eksenden ölçülen açı fazı gösterir. Bu yüzden Nyquist diyagramı, yalnızca frekans cevabının şeklini anlamaya çalışırken bile kullanışlıdır.

Bir Nyquist Diyagramı Ne Anlatır

$s$ değişkenindeki bir transfer fonksiyonuyla başlayın. Frekans cevabını elde etmek için

$$s = j\omega$$

yerine koyun ve ortaya çıkan karmaşık ifadeyi farklı $\omega$ değerleri için hesaplayın.

Eğer

$$G(j\omega) = x(\omega) + jy(\omega),$$

ise Nyquist diyagramı, karmaşık düzlemde

$$(x(\omega), y(\omega))$$

noktasının izlediği eğridir.

Bu önemlidir çünkü diyagram iki bilgiyi birlikte tutar:

• $|G(j\omega)|$ genliği verir.
• $\arg(G(j\omega))$ fazı verir.

Tek bir grafikte cevabın nereden başladığını, nasıl döndüğünü ve orijine ya da başka önemli bir noktaya yaklaşıp yaklaşmadığını görebilirsiniz.

Eğrinin Arkasındaki Sezgi

Frekansı, karmaşık düzlemde hareket eden bir işaretçi gibi düşünün. Her frekansta sistem bir karmaşık cevap üretir. $\omega$ değiştikçe bu cevap yer değiştirir ve izlenen tam yol Nyquist diyagramını oluşturur.

Sistemin katsayıları gerçel ise, negatif frekans kolu pozitif frekans kolunun gerçel eksene göre ayna görüntüsüdür. Bu koşul önemlidir. Ayna simetrisini yalnızca transfer fonksiyonunun katsayıları gerçel olduğunda kullanmalısınız.

Çözümlü Örnek: $G(s) = \frac{1}{1+s}$

Transfer fonksiyonunu ele alalım:

$$G(s) = \frac{1}{1+s}.$$

$s = j\omega$ yerine koyun:

$$G(j\omega) = \frac{1}{1+j\omega}.$$

Şimdi bunu dikdörtgensel biçimde yazın:

$$G(j\omega) = \frac{1-j\omega}{1+\omega^2} = \frac{1}{1+\omega^2} - j\frac{\omega}{1+\omega^2}.$$

Böylece gerçel ve sanal kısımlar

$$x(\omega) = \frac{1}{1+\omega^2}, \qquad y(\omega) = -\frac{\omega}{1+\omega^2}.$$

olur.

Artık şekli okumak kolaydır.

$\omega = 0$ iken,

$$G(j0) = 1,$$

olduğundan diyagram gerçel eksen üzerindeki $1$ noktasından başlar.

$\omega \to \infty$ iken,

$$G(j\omega) \to 0,$$

olduğundan eğri orijine doğru ilerler.

Pozitif $\omega$ için sanal kısım negatiftir; dolayısıyla pozitif frekans kolu alt yarı düzlemde yer alır.

Bir adım daha ileri gidip tam eğriyi de belirleyebilirsiniz. Bu noktalar

$$x^2 + y^2 = x,$$

koşulunu sağlar; bu da

$$\left(x - \frac{1}{2}\right)^2 + y^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2$$

ifadesine denktir.

Dolayısıyla pozitif frekans kolu, merkezi $\left(\frac{1}{2}, 0\right)$ ve yarıçapı $\frac{1}{2}$ olan bir çemberin alt yarısını çizer. Bu sistemin katsayıları gerçel olduğu için negatif frekans kolu da bunun gerçel eksene göre ayna görüntüsünü oluşturur ve çemberi tamamlar.

Bu örnek, ana fikri temiz bir biçimde gösterir: Nyquist diyagramı, frekansın karmaşık değerli bir fonksiyonunun çizdiği geometrik yoldan ibarettir.

Bir Nyquist Diyagramı Hızlıca Nasıl Okunur

Bir Nyquist diyagramını ilk gördüğünüzde şu dört soruyu sorun:

1. Eğri, $\omega = 0$ iken nereden başlıyor?
2. $\omega$ büyüdükçe nereye gidiyor?
3. Pozitif frekans kolu hangi yarı düzlemde bulunuyor?
4. Eğri, yapılan işe göre önemli olan herhangi bir kritik noktanın yakınından mı geçiyor ya da etrafını mı sarıyor?

Temel yorumlama için genellikle ilk üç soru yeterlidir. Birim geri beslemeli kapalı çevrim kararlılığı için kritik nokta $-1 + 0j$'dir ve sarım sayısının anlamı, çizilen fonksiyonun yanı sıra açık çevrim kutuplarına da bağlıdır. Nyquist kararlılık kriterini kullanmadan önce bu koşul açıkça belirtilmelidir.

Nyquist Diyagramında Sık Yapılan Hatalar

Onu Sıradan Bir $x$-$y$ Grafiği Gibi Görmek

Yatay ve dikey koordinatlar, birbiriyle ilgisiz iki ölçülen büyüklük değildir. Bunlar tek bir karmaşık cevabın gerçel ve sanal kısımlarıdır.

Frekansın Hangi Yönde Arttığını Göz Ardı Etmek

Yol boyunca frekansın hangi yönde arttığını bilmiyorsanız, aynı eğri şekli farklı anlamlara gelebilir.

Kontrol Etmeden Ayna Simetrisi Varsaymak

Katsayıları gerçel olan sistemlerde simetri, negatif frekans kolunu yeniden kurmanıza izin verir. Bu koşul sağlanmıyorsa basit bir ayna görüntüsü varsaymamalısınız.

Kurulumu Belirtmeden Kararlılık Kurallarını Kullanmak

Nyquist kararlılık kriteri güçlüdür, ancak hangi fonksiyonun çizildiğine ve açık çevrim sisteminin özelliklerine bağlıdır. Sarım sayısı ancak bu kurulum açıkça yapıldıktan sonra anlam kazanır.

Nyquist Diyagramı Ne Zaman Kullanılır

Nyquist diyagramları en çok kontrol sistemlerinde kullanılır; çünkü genlik ve fazı ayrı grafiklere bölmek yerine tek bir görselde görmek istersiniz. Frekans cevabını karşılaştırmak, geri beslemenin nasıl davranabileceğini değerlendirmek ve bir sistemin önemli bir kararlılık sınırına ne kadar yakın olabileceğini görmek için yararlıdır.

Ayrıca, karmaşık frekans cevabının kendisinin asıl ilgi konusu olduğu durumlarda işaret ve devre analizinde de karşınıza çıkar. Resmî kararlılık testlerinin dışında bile bu diyagram, frekans değiştikçe bir sistemin karmaşık düzlemde nasıl hareket ettiğini hızlıca görmenin bir yoludur.

Benzer Bir Problem Deneyin

Kendi sürümünüzü şu fonksiyonla deneyin:

$$G(s) = \frac{1}{(1+s)^2}.$$

$G(j\omega)$ ifadesini hesaplayın, gerçel ve sanal kısımları ayırın ve diyagramın nereden başladığını, pozitif frekans kolunun hangi yarı düzleme girdiğini ve nerede bittiğini taslak olarak çizin. Bir adım daha ileri gitmek isterseniz, eğrinin hâlâ basit bir geometrik şekle sahip olup olmadığını kontrol edin.