Diagrama de Nyquist

Un diagrama de Nyquist muestra la respuesta en frecuencia de un sistema como una curva en el plano complejo. Para cada frecuencia $\omega$, se evalúa $G(j\omega)$ o, en problemas de realimentación, la función de transferencia de lazo $L(j\omega)$. La parte real se convierte en la coordenada horizontal, la parte imaginaria en la coordenada vertical, y un solo punto contiene tanto la magnitud como la fase.

La forma más rápida de leerlo es esta: cada punto corresponde a una frecuencia, la distancia al origen es la magnitud y el ángulo medido desde el eje real positivo es la fase. Eso hace que un diagrama de Nyquist sea útil incluso si solo quieres entender la forma de la respuesta en frecuencia.

Qué Te Dice Un Diagrama de Nyquist

Empieza con una función de transferencia en la variable $s$. Para obtener la respuesta en frecuencia, sustituye

$$s = j\omega$$

y evalúa la expresión compleja resultante para distintos valores de $\omega$.

Si

$$G(j\omega) = x(\omega) + jy(\omega),$$

entonces el diagrama de Nyquist es la curva trazada por el punto

$$(x(\omega), y(\omega))$$

en el plano complejo.

Esto importa porque el diagrama mantiene juntas dos piezas de información:

• $|G(j\omega)|$ te da la magnitud.
• $\arg(G(j\omega))$ te da la fase.

En una sola gráfica, puedes ver dónde empieza la respuesta, cómo gira y si se acerca al origen o a otro punto importante.

La Intuición Detrás De La Curva

Piensa en la frecuencia como si moviera un puntero por el plano complejo. En cada frecuencia, el sistema produce una respuesta compleja. A medida que cambia $\omega$, esa respuesta se mueve, y la trayectoria completa es el diagrama de Nyquist.

Si el sistema tiene coeficientes reales, la rama de frecuencias negativas es la imagen especular de la rama de frecuencias positivas respecto del eje real. Esa condición importa. Solo debes usar simetría especular cuando los coeficientes de la función de transferencia son reales.

Ejemplo Resuelto: $G(s) = \frac{1}{1+s}$

Toma la función de transferencia

$$G(s) = \frac{1}{1+s}.$$

Sustituye $s = j\omega$:

$$G(j\omega) = \frac{1}{1+j\omega}.$$

Ahora reescríbela en forma rectangular:

$$G(j\omega) = \frac{1-j\omega}{1+\omega^2} = \frac{1}{1+\omega^2} - j\frac{\omega}{1+\omega^2}.$$

Así que las partes real e imaginaria son

$$x(\omega) = \frac{1}{1+\omega^2}, \qquad y(\omega) = -\frac{\omega}{1+\omega^2}.$$

Ahora la forma es fácil de leer.

Cuando $\omega = 0$,

$$G(j0) = 1,$$

así que el diagrama empieza en el punto $1$ sobre el eje real.

Cuando $\omega \to \infty$,

$$G(j\omega) \to 0,$$

así que la curva se mueve hacia el origen.

Para $\omega$ positiva, la parte imaginaria es negativa, así que la rama de frecuencias positivas queda en el semiplano inferior.

Puedes ir un paso más allá e identificar la curva exacta. Estos puntos satisfacen

$$x^2 + y^2 = x,$$

lo cual equivale a

$$\left(x - \frac{1}{2}\right)^2 + y^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2.$$

Así que la rama de frecuencias positivas traza la mitad inferior de un círculo centrado en $\left(\frac{1}{2}, 0\right)$ con radio $\frac{1}{2}$. Como este sistema tiene coeficientes reales, la rama de frecuencias negativas es su reflejo respecto del eje real y completa el círculo.

Este ejemplo muestra la idea principal de forma clara: un diagrama de Nyquist es simplemente la trayectoria geométrica trazada por una función compleja de la frecuencia.

Cómo Leer Rápidamente Un Diagrama de Nyquist

Cuando veas por primera vez un diagrama de Nyquist, hazte cuatro preguntas:

1. ¿Dónde empieza la curva cuando $\omega = 0$?
2. ¿Hacia dónde va cuando $\omega$ se hace grande?
3. ¿Qué semiplano ocupa la rama de frecuencias positivas?
4. ¿La curva pasa cerca de algún punto crítico o lo rodea, si ese punto importa para la tarea?

Para una interpretación básica, las tres primeras preguntas suelen ser suficientes. Para la estabilidad en lazo cerrado con realimentación unitaria, el punto crítico es $-1 + 0j$, y el significado de los rodeos depende de los polos en lazo abierto además de la función representada. Esa condición debe indicarse antes de usar el criterio de estabilidad de Nyquist.

Errores Comunes En Los Diagramas de Nyquist

Tratarlo Como Una Gráfica Ordinaria $x$-$y$

Las coordenadas horizontal y vertical no son dos cantidades medidas sin relación entre sí. Son la parte real y la parte imaginaria de una sola respuesta compleja.

Ignorar En Qué Sentido Aumenta La Frecuencia

La misma forma de curva puede significar cosas distintas si no sabes en qué sentido aumenta la frecuencia a lo largo de la trayectoria.

Suponer Simetría Especular Sin Verificarla

En sistemas con coeficientes reales, la simetría te permite reconstruir la rama de frecuencias negativas. Si esa condición no se cumple, no debes suponer una imagen especular simple.

Usar Reglas De Estabilidad Sin Indicar La Configuración

El criterio de estabilidad de Nyquist es potente, pero depende de qué función se está representando y de las propiedades del sistema en lazo abierto. El conteo de rodeos solo tiene sentido después de dejar explícita esa configuración.

Cuándo Se Usa Un Diagrama de Nyquist

Los diagramas de Nyquist son más comunes en sistemas de control, donde quieres ver magnitud y fase en una sola imagen en lugar de separarlas en gráficas distintas. Son útiles para comparar respuestas en frecuencia, juzgar cómo puede comportarse la realimentación y comprobar qué tan cerca puede estar un sistema de un límite importante de estabilidad.

También aparecen en análisis de señales y circuitos cuando la propia respuesta compleja en frecuencia es el objeto principal de interés. Incluso fuera de las pruebas formales de estabilidad, el diagrama es una forma rápida de ver cómo se mueve un sistema por el plano complejo a medida que cambia la frecuencia.

Prueba Un Problema Similar

Prueba tu propia versión con

$$G(s) = \frac{1}{(1+s)^2}.$$

Calcula $G(j\omega)$, separa las partes real e imaginaria y esboza dónde empieza el diagrama, en qué semiplano entra la rama de frecuencias positivas y dónde termina. Si quieres ir un paso más allá, comprueba si la curva sigue teniendo una forma geométrica simple o no.