Metode Root Locus

Root locus adalah metode dalam sistem kontrol untuk melihat ke mana pole loop tertutup dapat bergerak saat suatu gain berubah. Dalam pengaturan standar umpan balik negatif waktu-kontinu, gain itu biasanya ditulis sebagai $K \ge 0$, dan plotnya berada pada bidang kompleks $s$.

Ini penting karena lokasi pole berkaitan langsung dengan perilaku sistem. Untuk sistem linear waktu-kontinu, pole di setengah bidang kiri dikaitkan dengan mode yang stabil, jadi root locus memberi cara cepat untuk menilai apakah perubahan gain membantu atau justru merugikan stabilitas.

Jika faktor alih loop terbuka ditulis sebagai $K G(s)H(s)$, maka pole loop tertutup adalah solusi dari

$$1 + K G(s)H(s) = 0$$

Jadi, root locus adalah himpunan semua lokasi pole loop tertutup saat $K$ bervariasi.

Apa yang Ditunjukkan oleh Plot Root Locus

Plot ini tidak menunjukkan titik sembarang. Plot ini menunjukkan kemungkinan lokasi pole loop tertutup untuk satu model umpan balik tertentu dan satu rentang gain tertentu.

Dua fakta berikut memberi sebagian besar intuisi dasarnya:

• Cabang-cabang dimulai dari pole loop terbuka saat $K = 0$.
• Cabang-cabang berakhir di zero loop terbuka atau menuju tak hingga saat $K \to \infty$.

Itu membuat pertanyaan praktisnya menjadi sederhana: jika gain dinaikkan, ke mana pole bergerak?

Mengapa Mahasiswa Menggunakan Root Locus

Anggap root locus sebagai diagram gerak untuk pole. Anda tidak menyelesaikan masalah yang benar-benar baru untuk setiap nilai $K$. Anda melacak lintasan yang diikuti pole saat gain berubah secara kontinu.

Itulah sebabnya metode ini berguna dalam perancangan. Daripada menguji banyak nilai gain secara terpisah satu per satu, Anda bisa melihat tren keseluruhannya dalam satu plot.

Contoh Dikerjakan: Root Locus untuk $L(s) = \frac{K}{s(s+2)}$

Ambil faktor alih loop terbuka

$$L(s) = \frac{K}{s(s+2)}$$

dengan umpan balik negatif satuan. Persamaan karakteristik loop tertutupnya adalah

$$1 + \frac{K}{s(s+2)} = 0$$

Kalikan kedua ruas dengan $s(s+2)$:

$$s(s+2) + K = 0$$

sehingga

$$s^2 + 2s + K = 0$$

Sekarang selesaikan untuk pole loop tertutup:

$$s = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 4K}}{2} = -1 \pm \sqrt{1-K}$$

Rumus ini sudah menunjukkan perilaku utama root locus.

Saat $K = 0$, pole berada di $s = 0$ dan $s = -2$. Itulah pole loop terbuka, jadi titik-titik itu adalah titik awal locus.

Saat $0 < K < 1$, kedua pole tetap berada pada sumbu real:

$$s = -1 \pm \sqrt{1-K}$$

Ketika $K$ meningkat, kedua pole itu bergerak saling mendekat di sepanjang sumbu real.

Saat $K = 1$, keduanya bertemu di

$$s = -1$$

Untuk $K > 1$, akar kuadrat menjadi imajiner, sehingga pole menjadi pasangan konjugat kompleks:

$$s = -1 \pm i\sqrt{K-1}$$

Sekarang bagian real tetap di $-1$, dan pole bergerak ke atas dan ke bawah secara vertikal.

Ini memberi gambaran lengkapnya secara cepat:

• Cabang-cabang dimulai di $0$ dan $-2$.
• Keduanya bertemu di $-1$.
• Setelah itu, mereka meninggalkan sumbu real sebagai pasangan kompleks.
• Tidak ada zero hingga, jadi cabang-cabang menuju tak hingga.

Karena bagian real tetap negatif untuk setiap $K > 0$, sistem loop tertutup khusus ini tetap berada di setengah bidang kiri untuk semua gain positif. Kesimpulan itu bergantung pada contoh khusus ini dan pengaturan waktu-kontinu.

Kesalahan Umum pada Root Locus

Tertukar antara pole loop terbuka dan loop tertutup

Root locus berasal dari persamaan karakteristik loop tertutup. Pole dan zero loop terbuka memandu sketsa, tetapi locus itu sendiri menunjukkan ke mana pole loop tertutup dapat bergerak.

Lupa tanda umpan balik

Bentuk standar di atas menggunakan umpan balik negatif dan biasanya $K \ge 0$. Jika tanda umpan balik atau rentang gain berubah, locus juga berubah.

Membaca stabilitas tanpa menyebutkan pengaturannya

Untuk sistem waktu-kontinu, pole di setengah bidang kiri menunjukkan stabilitas asimtotik. Sistem waktu-diskrit menggunakan daerah stabilitas yang berbeda, jadi aturan visual yang sama tidak bisa langsung dipakai tanpa perubahan.

Menganggap plot seperti grafik respons waktu

Root locus memberi tahu Anda di mana pole berada. Plot ini tidak langsung memberi overshoot, waktu tunak, atau besar respons kecuali Anda menghubungkan lokasi pole dengan model dan pendekatan tertentu.

Kapan Metode Root Locus Digunakan

Root locus digunakan saat Anda ingin menyetel gain dan memahami bagaimana penyetelan itu mengubah lokasi pole dari sistem umpan balik linear.

Hal ini sering muncul dalam perancangan kontrol dasar, terutama ketika Anda ingin gain yang menjaga pole tetap di daerah stabil atau menggesernya ke respons yang lebih cepat atau lebih lambat. Bahkan ketika perangkat lunak menggambar plotnya untuk Anda, idenya tetap penting karena menjelaskan apa sebenarnya yang dikatakan plot itu.

Cara Memulai Soal Root Locus Apa Pun

Sebelum membuat sketsa apa pun, jawab pertanyaan-pertanyaan ini:

1. Apa persamaan karakteristiknya?
2. Di mana letak pole dan zero loop terbuka?
3. Apakah Anda menggunakan pengaturan standar umpan balik negatif dengan $K \ge 0$?

Jika tiga hal itu belum jelas, plotnya mudah disalahartikan.

Coba Versi Anda Sendiri

Coba proses yang sama untuk

$$L(s) = \frac{K}{s(s+1)}$$

Tuliskan persamaan karakteristik loop tertutup, selesaikan pole-polenya, lalu lacak apa yang terjadi saat $K$ meningkat. Jika Anda bisa mengenali di mana dua cabang dimulai dan kapan keduanya berhenti murni real, berarti ide utama root locus sudah benar-benar dipahami.