Διάγραμμα Nyquist

Ένα διάγραμμα Nyquist δείχνει τη συχνοτική απόκριση ενός συστήματος ως καμπύλη στο μιγαδικό επίπεδο. Για κάθε συχνότητα $\omega$, υπολογίζεις το $G(j\omega)$ ή, σε προβλήματα ανάδρασης, τη συνάρτηση μεταφοράς βρόχου $L(j\omega)$. Το πραγματικό μέρος γίνεται η οριζόντια συντεταγμένη, το φανταστικό μέρος γίνεται η κατακόρυφη συντεταγμένη, και έτσι ένα μόνο σημείο μεταφέρει και το μέτρο και τη φάση.

Ο πιο γρήγορος τρόπος να το διαβάσεις είναι ο εξής: κάθε σημείο αντιστοιχεί σε μία συχνότητα, η απόσταση από την αρχή των αξόνων είναι το μέτρο και η γωνία από τον θετικό πραγματικό άξονα είναι η φάση. Αυτό κάνει το διάγραμμα Nyquist χρήσιμο ακόμη κι αν θέλεις μόνο να καταλάβεις το σχήμα της συχνοτικής απόκρισης.

Τι Σου Δείχνει Ένα Διάγραμμα Nyquist

Ξεκίνα με μια συνάρτηση μεταφοράς στη μεταβλητή $s$. Για να πάρεις τη συχνοτική απόκριση, αντικατέστησε

$$s = j\omega$$

και υπολόγισε τη μιγαδική παράσταση που προκύπτει για διαφορετικές τιμές του $\omega$.

Αν

$$G(j\omega) = x(\omega) + jy(\omega),$$

τότε το διάγραμμα Nyquist είναι η καμπύλη που διαγράφει το σημείο

$$(x(\omega), y(\omega))$$

στο μιγαδικό επίπεδο.

Αυτό έχει σημασία επειδή το διάγραμμα κρατά μαζί δύο πληροφορίες:

• Το $|G(j\omega)|$ σου δίνει το μέτρο.
• Το $\arg(G(j\omega))$ σου δίνει τη φάση.

Σε ένα μόνο γράφημα, μπορείς να δεις από πού ξεκινά η απόκριση, πώς στρέφεται και αν πλησιάζει την αρχή των αξόνων ή κάποιο άλλο σημαντικό σημείο.

Η Διαίσθηση Πίσω Από Την Καμπύλη

Σκέψου τη συχνότητα σαν κάτι που μετακινεί έναν δείκτη μέσα στο μιγαδικό επίπεδο. Σε κάθε συχνότητα, το σύστημα παράγει μία μιγαδική απόκριση. Καθώς το $\omega$ αλλάζει, αυτή η απόκριση μετακινείται, και ολόκληρη η διαδρομή είναι το διάγραμμα Nyquist.

Αν το σύστημα έχει πραγματικούς συντελεστές, ο κλάδος των αρνητικών συχνοτήτων είναι το κατοπτρικό είδωλο του κλάδου των θετικών συχνοτήτων ως προς τον πραγματικό άξονα. Αυτή η προϋπόθεση είναι σημαντική. Πρέπει να χρησιμοποιείς συμμετρία κατοπτρισμού μόνο όταν οι συντελεστές της συνάρτησης μεταφοράς είναι πραγματικοί.

Λυμένο Παράδειγμα: $G(s) = \frac{1}{1+s}$

Πάρε τη συνάρτηση μεταφοράς

$$G(s) = \frac{1}{1+s}.$$

Αντικατάστησε $s = j\omega$:

$$G(j\omega) = \frac{1}{1+j\omega}.$$

Τώρα γράψ’ την σε καρτεσιανή μορφή:

$$G(j\omega) = \frac{1-j\omega}{1+\omega^2} = \frac{1}{1+\omega^2} - j\frac{\omega}{1+\omega^2}.$$

Άρα το πραγματικό και το φανταστικό μέρος είναι

$$x(\omega) = \frac{1}{1+\omega^2}, \qquad y(\omega) = -\frac{\omega}{1+\omega^2}.$$

Τώρα το σχήμα διαβάζεται εύκολα.

Όταν $\omega = 0$,

$$G(j0) = 1,$$

οπότε το διάγραμμα ξεκινά από το σημείο $1$ πάνω στον πραγματικό άξονα.

Καθώς $\omega \to \infty$,

$$G(j\omega) \to 0,$$

οπότε η καμπύλη κινείται προς την αρχή των αξόνων.

Για θετικές τιμές του $\omega$, το φανταστικό μέρος είναι αρνητικό, άρα ο κλάδος των θετικών συχνοτήτων βρίσκεται στο κάτω ημιεπίπεδο.

Μπορείς να πας ένα βήμα παραπέρα και να εντοπίσεις την ακριβή καμπύλη. Αυτά τα σημεία ικανοποιούν τη σχέση

$$x^2 + y^2 = x,$$

που είναι ισοδύναμη με

$$\left(x - \frac{1}{2}\right)^2 + y^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2.$$

Άρα ο κλάδος των θετικών συχνοτήτων διαγράφει το κάτω ημικύκλιο ενός κύκλου με κέντρο στο $\left(\frac{1}{2}, 0\right)$ και ακτίνα $\frac{1}{2}$. Επειδή αυτό το σύστημα έχει πραγματικούς συντελεστές, ο κλάδος των αρνητικών συχνοτήτων είναι το κατοπτρικό του ως προς τον πραγματικό άξονα και ολοκληρώνει τον κύκλο.

Αυτό το παράδειγμα δείχνει καθαρά τη βασική ιδέα: ένα διάγραμμα Nyquist είναι απλώς η γεωμετρική τροχιά που διαγράφει μια μιγαδική συνάρτηση της συχνότητας.

Πώς Να Διαβάζεις Γρήγορα Ένα Διάγραμμα Nyquist

Όταν βλέπεις για πρώτη φορά ένα διάγραμμα Nyquist, κάνε τέσσερις ερωτήσεις:

1. Από πού ξεκινά η καμπύλη όταν $\omega = 0$;
2. Πού πηγαίνει καθώς το $\omega$ γίνεται μεγάλο;
3. Ποιο ημιεπίπεδο καταλαμβάνει ο κλάδος των θετικών συχνοτήτων;
4. Περνά η καμπύλη κοντά ή γύρω από κάποιο κρίσιμο σημείο που έχει σημασία για το πρόβλημα;

Για βασική ερμηνεία, οι τρεις πρώτες ερωτήσεις συνήθως αρκούν. Για ευστάθεια κλειστού βρόχου με μοναδιαία ανάδραση, το κρίσιμο σημείο είναι το $-1 + 0j$, και η σημασία των περιελίξεων εξαρτάται από τους πόλους ανοιχτού βρόχου καθώς και από τη συνάρτηση που σχεδιάζεται. Αυτή η προϋπόθεση πρέπει να δηλώνεται πριν χρησιμοποιηθεί το κριτήριο ευστάθειας Nyquist.

Συνηθισμένα Λάθη Στα Διαγράμματα Nyquist

Να Το Αντιμετωπίζεις Σαν Ένα Συνηθισμένο Διάγραμμα $x$-$y$

Οι οριζόντιες και κατακόρυφες συντεταγμένες δεν είναι δύο άσχετα μετρούμενα μεγέθη. Είναι το πραγματικό και το φανταστικό μέρος μίας μιγαδικής απόκρισης.

Να Αγνοείς Προς Ποια Κατεύθυνση Αυξάνεται Η Συχνότητα

Το ίδιο σχήμα καμπύλης μπορεί να σημαίνει διαφορετικά πράγματα αν δεν ξέρεις προς ποια κατεύθυνση αυξάνεται η συχνότητα πάνω στη διαδρομή.

Να Υποθέτεις Συμμετρία Χωρίς Έλεγχο

Για συστήματα με πραγματικούς συντελεστές, η συμμετρία σου επιτρέπει να ανακατασκευάσεις τον κλάδο των αρνητικών συχνοτήτων. Αν αυτή η προϋπόθεση δεν ισχύει, δεν πρέπει να υποθέτεις ένα απλό κατοπτρικό είδωλο.

Να Χρησιμοποιείς Κανόνες Ευστάθειας Χωρίς Να Δηλώνεις Το Πλαίσιο

Το κριτήριο ευστάθειας Nyquist είναι ισχυρό, αλλά εξαρτάται από το ποια συνάρτηση σχεδιάζεται και από ιδιότητες του συστήματος ανοιχτού βρόχου. Ο αριθμός των περιελίξεων έχει νόημα μόνο αφού αυτό το πλαίσιο έχει διατυπωθεί ρητά.

Πότε Χρησιμοποιείται Ένα Διάγραμμα Nyquist

Τα διαγράμματα Nyquist είναι πιο συνηθισμένα στα συστήματα ελέγχου, όπου θέλεις μέτρο και φάση στην ίδια εικόνα αντί να τα χωρίζεις σε διαφορετικά γραφήματα. Είναι χρήσιμα για τη σύγκριση της συχνοτικής απόκρισης, για την εκτίμηση του πώς μπορεί να συμπεριφερθεί η ανάδραση και για τον έλεγχο του πόσο κοντά μπορεί να βρίσκεται ένα σύστημα σε ένα σημαντικό όριο ευστάθειας.

Εμφανίζονται επίσης στην ανάλυση σημάτων και κυκλωμάτων όταν η ίδια η μιγαδική συχνοτική απόκριση είναι το βασικό αντικείμενο ενδιαφέροντος. Ακόμη και έξω από τυπικούς ελέγχους ευστάθειας, το διάγραμμα είναι ένας γρήγορος τρόπος να δεις πώς κινείται ένα σύστημα στο μιγαδικό επίπεδο καθώς αλλάζει η συχνότητα.

Δοκίμασε Ένα Παρόμοιο Πρόβλημα

Δοκίμασε τη δική σου εκδοχή με

$$G(s) = \frac{1}{(1+s)^2}.$$

Υπολόγισε το $G(j\omega)$, χώρισε το πραγματικό και το φανταστικό μέρος και σχεδίασε από πού ξεκινά το διάγραμμα, σε ποιο ημιεπίπεδο μπαίνει ο κλάδος των θετικών συχνοτήτων και πού καταλήγει. Αν θέλεις να πας ένα βήμα παραπέρα, έλεγξε αν η καμπύλη εξακολουθεί να έχει απλό γεωμετρικό σχήμα ή όχι.