Đồ thị Nyquist

Đồ thị Nyquist biểu diễn đáp ứng tần số của một hệ dưới dạng một đường cong trên mặt phẳng phức. Với mỗi tần số $\omega$, ta tính $G(j\omega)$ hoặc, trong các bài toán hồi tiếp, hàm truyền vòng hở $L(j\omega)$. Phần thực là tọa độ ngang, phần ảo là tọa độ dọc, và một điểm lúc này mang cả biên độ lẫn pha.

Cách đọc nhanh nhất là thế này: mỗi điểm ứng với một tần số, khoảng cách từ gốc tọa độ là biên độ, còn góc tính từ trục thực dương là pha. Vì vậy, đồ thị Nyquist vẫn rất hữu ích ngay cả khi bạn chỉ muốn hiểu hình dạng của đáp ứng tần số.

Đồ Thị Nyquist Cho Bạn Biết Điều Gì

Bắt đầu với một hàm truyền theo biến $s$. Để có đáp ứng tần số, hãy thay

$$s = j\omega$$

và tính biểu thức phức thu được với các giá trị khác nhau của $\omega$.

Nếu

$$G(j\omega) = x(\omega) + jy(\omega),$$

thì đồ thị Nyquist là đường cong được vạch ra bởi điểm

$$(x(\omega), y(\omega))$$

trên mặt phẳng phức.

Điều này quan trọng vì đồ thị giữ hai thông tin cùng nhau:

• $|G(j\omega)|$ cho biết biên độ.
• $\arg(G(j\omega))$ cho biết pha.

Trên cùng một đồ thị, bạn có thể thấy đáp ứng bắt đầu ở đâu, nó đổi hướng như thế nào, và liệu nó có tiến về gốc tọa độ hay một điểm quan trọng khác hay không.

Trực Giác Đằng Sau Đường Cong

Hãy hình dung tần số như đang di chuyển một con trỏ trên mặt phẳng phức. Ở mỗi tần số, hệ tạo ra một đáp ứng phức. Khi $\omega$ thay đổi, đáp ứng đó di chuyển, và toàn bộ quỹ đạo chính là đồ thị Nyquist.

Nếu hệ có các hệ số thực, nhánh tần số âm sẽ là ảnh đối xứng của nhánh tần số dương qua trục thực. Điều kiện này rất quan trọng. Bạn chỉ nên dùng tính đối xứng gương khi các hệ số của hàm truyền là số thực.

Ví Dụ Có Lời Giải: $G(s) = \frac{1}{1+s}$

Xét hàm truyền

$$G(s) = \frac{1}{1+s}.$$

Thay $s = j\omega$:

$$G(j\omega) = \frac{1}{1+j\omega}.$$

Bây giờ viết lại dưới dạng hình chữ nhật:

$$G(j\omega) = \frac{1-j\omega}{1+\omega^2} = \frac{1}{1+\omega^2} - j\frac{\omega}{1+\omega^2}.$$

Vậy phần thực và phần ảo là

$$x(\omega) = \frac{1}{1+\omega^2}, \qquad y(\omega) = -\frac{\omega}{1+\omega^2}.$$

Lúc này hình dạng của đồ thị rất dễ đọc.

Khi $\omega = 0$,

$$G(j0) = 1,$$

nên đồ thị bắt đầu tại điểm $1$ trên trục thực.

Khi $\omega \to \infty$,

$$G(j\omega) \to 0,$$

nên đường cong tiến dần về gốc tọa độ.

Với $\omega$ dương, phần ảo là âm, nên nhánh tần số dương nằm trong nửa mặt phẳng dưới.

Bạn có thể đi thêm một bước và xác định chính xác đường cong. Các điểm này thỏa mãn

$$x^2 + y^2 = x,$$

tương đương với

$$\left(x - \frac{1}{2}\right)^2 + y^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2.$$

Vì vậy, nhánh tần số dương vạch ra nửa dưới của một đường tròn có tâm tại $\left(\frac{1}{2}, 0\right)$ và bán kính $\frac{1}{2}$. Vì hệ này có các hệ số thực, nhánh tần số âm là ảnh đối xứng của nó qua trục thực và hoàn thành cả đường tròn.

Ví dụ này thể hiện ý chính ở dạng gọn gàng: đồ thị Nyquist đơn giản là quỹ đạo hình học do một hàm phức theo tần số vạch ra.

Cách Đọc Nhanh Một Đồ Thị Nyquist

Khi lần đầu nhìn thấy một đồ thị Nyquist, hãy đặt ra bốn câu hỏi:

1. Đường cong bắt đầu ở đâu khi $\omega = 0$?
2. Nó đi về đâu khi $\omega$ trở nên rất lớn?
3. Nhánh tần số dương nằm trong nửa mặt phẳng nào?
4. Đường cong có đi gần hoặc bao quanh điểm tới hạn nào quan trọng với bài toán không?

Đối với việc diễn giải cơ bản, ba câu hỏi đầu thường là đủ. Với ổn định vòng kín trong hệ hồi tiếp đơn vị, điểm tới hạn là $-1 + 0j$, và ý nghĩa của số vòng bao còn phụ thuộc vào các cực vòng hở cũng như hàm đang được vẽ. Điều kiện đó cần được nêu rõ trước khi dùng tiêu chuẩn ổn định Nyquist.

Những Sai Lầm Thường Gặp Với Đồ Thị Nyquist

Xem Nó Như Một Đồ Thị $x$-$y$ Thông Thường

Tọa độ ngang và dọc không phải là hai đại lượng đo được không liên quan. Chúng là phần thực và phần ảo của cùng một đáp ứng phức.

Bỏ Qua Chiều Tăng Của Tần Số

Cùng một hình dạng đường cong có thể mang ý nghĩa khác nhau nếu bạn không biết tần số tăng theo chiều nào dọc theo quỹ đạo.

Giả Sử Có Đối Xứng Gương Mà Không Kiểm Tra

Với các hệ có hệ số thực, tính đối xứng cho phép bạn dựng lại nhánh tần số âm. Nếu điều kiện đó không đúng, bạn không nên giả sử có một ảnh gương đơn giản.

Dùng Quy Tắc Ổn Định Mà Không Nêu Rõ Thiết Lập

Tiêu chuẩn ổn định Nyquist rất mạnh, nhưng nó phụ thuộc vào hàm nào đang được vẽ và vào các tính chất của hệ vòng hở. Số vòng bao chỉ có ý nghĩa sau khi thiết lập đó được nêu rõ.

Khi Nào Dùng Đồ Thị Nyquist

Đồ thị Nyquist xuất hiện nhiều nhất trong hệ điều khiển, nơi bạn muốn thấy biên độ và pha trên cùng một hình thay vì tách thành các đồ thị riêng. Chúng hữu ích khi so sánh đáp ứng tần số, đánh giá hệ hồi tiếp có thể hoạt động ra sao, và kiểm tra hệ có gần một ranh giới ổn định quan trọng hay không.

Chúng cũng xuất hiện trong phân tích tín hiệu và mạch điện khi chính đáp ứng tần số phức là đối tượng cần quan tâm. Ngay cả ngoài các kiểm tra ổn định chính thức, đồ thị này vẫn là một cách nhanh để thấy hệ di chuyển trên mặt phẳng phức như thế nào khi tần số thay đổi.

Thử Một Bài Tương Tự

Hãy tự thử với

$$G(s) = \frac{1}{(1+s)^2}.$$

Tính $G(j\omega)$, tách phần thực và phần ảo, rồi phác họa đồ thị bắt đầu ở đâu, nhánh tần số dương đi vào nửa mặt phẳng nào, và kết thúc ở đâu. Nếu muốn đi thêm một bước, hãy kiểm tra xem đường cong còn có hình dạng hình học đơn giản hay không.