Diagramme de Nyquist

Un diagramme de Nyquist représente la réponse fréquentielle d’un système sous la forme d’une courbe dans le plan complexe. Pour chaque fréquence $\omega$, on évalue $G(j\omega)$ ou, dans les problèmes de rétroaction, la fonction de transfert en boucle ouverte $L(j\omega)$. La partie réelle devient la coordonnée horizontale, la partie imaginaire devient la coordonnée verticale, et un seul point porte alors à la fois le module et la phase.

La façon la plus rapide de le lire est la suivante : chaque point correspond à une fréquence, la distance à l’origine donne le module, et l’angle mesuré depuis l’axe réel positif donne la phase. Cela rend le diagramme de Nyquist utile même si vous cherchez seulement à comprendre la forme de la réponse fréquentielle.

Ce que montre un diagramme de Nyquist

On part d’une fonction de transfert en variable $s$. Pour obtenir la réponse fréquentielle, on remplace

$$s = j\omega$$

puis on évalue l’expression complexe obtenue pour différentes valeurs de $\omega$.

Si

$$G(j\omega) = x(\omega) + jy(\omega),$$

alors le diagramme de Nyquist est la courbe décrite par le point

$$(x(\omega), y(\omega))$$

dans le plan complexe.

C’est important, car le diagramme conserve ensemble deux informations :

• $|G(j\omega)|$ donne le module.
• $\arg(G(j\omega))$ donne la phase.

Sur un seul graphique, on peut voir où la réponse commence, comment elle tourne, et si elle s’approche de l’origine ou d’un autre point important.

L’intuition derrière la courbe

On peut voir la fréquence comme un paramètre qui déplace un pointeur dans le plan complexe. À chaque fréquence, le système produit une réponse complexe. Quand $\omega$ varie, cette réponse se déplace, et la trajectoire complète est le diagramme de Nyquist.

Si le système a des coefficients réels, la branche des fréquences négatives est l’image miroir de la branche des fréquences positives par rapport à l’axe réel. Cette condition est importante. Il ne faut utiliser cette symétrie miroir que lorsque les coefficients de la fonction de transfert sont réels.

Exemple détaillé : $G(s) = \frac{1}{1+s}$

Prenons la fonction de transfert

$$G(s) = \frac{1}{1+s}.$$

Remplaçons $s$ par $j\omega$ :

$$G(j\omega) = \frac{1}{1+j\omega}.$$

Réécrivons-la maintenant sous forme cartésienne :

$$G(j\omega) = \frac{1-j\omega}{1+\omega^2} = \frac{1}{1+\omega^2} - j\frac{\omega}{1+\omega^2}.$$

Les parties réelle et imaginaire sont donc

$$x(\omega) = \frac{1}{1+\omega^2}, \qquad y(\omega) = -\frac{\omega}{1+\omega^2}.$$

La forme devient alors facile à lire.

Quand $\omega = 0$,

$$G(j0) = 1,$$

le diagramme commence donc au point $1$ sur l’axe réel.

Quand $\omega \to \infty$,

$$G(j\omega) \to 0,$$

la courbe se dirige donc vers l’origine.

Pour $\omega > 0$, la partie imaginaire est négative, donc la branche des fréquences positives se trouve dans le demi-plan inférieur.

On peut aller un peu plus loin et identifier la courbe exacte. Ces points vérifient

$$x^2 + y^2 = x,$$

ce qui équivaut à

$$\left(x - \frac{1}{2}\right)^2 + y^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2.$$

La branche des fréquences positives décrit donc la moitié inférieure d’un cercle centré en $\left(\frac{1}{2}, 0\right)$ et de rayon $\frac{1}{2}$. Comme ce système a des coefficients réels, la branche des fréquences négatives est son image miroir par rapport à l’axe réel et complète le cercle.

Cet exemple montre l’idée essentielle sous une forme simple : un diagramme de Nyquist n’est rien d’autre que la trajectoire géométrique décrite par une fonction complexe de la fréquence.

Comment lire rapidement un diagramme de Nyquist

Quand vous voyez un diagramme de Nyquist pour la première fois, posez-vous quatre questions :

1. Où la courbe commence-t-elle lorsque $\omega = 0$ ?
2. Où va-t-elle quand $\omega$ devient grand ?
3. Dans quel demi-plan se trouve la branche des fréquences positives ?
4. La courbe passe-t-elle près d’un point critique, ou l’entoure-t-elle, si ce point est important pour le problème étudié ?

Pour une interprétation de base, les trois premières questions suffisent généralement. Pour la stabilité en boucle fermée avec rétroaction unitaire, le point critique est $-1 + 0j$, et la signification des enlacements dépend des pôles en boucle ouverte ainsi que de la fonction tracée. Cette condition doit être énoncée avant d’utiliser le critère de stabilité de Nyquist.

Erreurs fréquentes avec les diagrammes de Nyquist

Le traiter comme un graphique $x$-$y$ ordinaire

Les coordonnées horizontale et verticale ne sont pas deux grandeurs mesurées sans lien. Ce sont les parties réelle et imaginaire d’une même réponse complexe.

Ignorer dans quel sens la fréquence augmente

Une même forme de courbe peut avoir des significations différentes si l’on ne sait pas dans quel sens la fréquence augmente le long de la trajectoire.

Supposer une symétrie miroir sans vérifier

Pour les systèmes à coefficients réels, la symétrie permet de reconstruire la branche des fréquences négatives. Si cette condition n’est pas satisfaite, il ne faut pas supposer une simple image miroir.

Utiliser des règles de stabilité sans préciser le cadre

Le critère de stabilité de Nyquist est puissant, mais il dépend de la fonction tracée et des propriétés du système en boucle ouverte. Le nombre d’enlacements n’a de sens qu’une fois ce cadre explicitement défini.

Quand utilise-t-on un diagramme de Nyquist ?

Les diagrammes de Nyquist sont surtout utilisés en automatique, lorsqu’on veut voir le module et la phase sur une seule figure au lieu de les séparer sur plusieurs graphes. Ils sont utiles pour comparer des réponses fréquentielles, évaluer le comportement possible d’une rétroaction et vérifier à quel point un système est proche d’une limite importante de stabilité.

On les rencontre aussi en traitement du signal et en analyse des circuits dès que la réponse fréquentielle complexe elle-même est l’objet principal d’étude. Même en dehors des tests formels de stabilité, ce diagramme permet de voir rapidement comment un système se déplace dans le plan complexe quand la fréquence varie.

Essayez un problème similaire

Essayez votre propre version avec

$$G(s) = \frac{1}{(1+s)^2}.$$

Calculez $G(j\omega)$, séparez les parties réelle et imaginaire, puis esquissez où le diagramme commence, dans quel demi-plan entre la branche des fréquences positives, et où elle se termine. Si vous voulez aller un peu plus loin, vérifiez si la courbe a encore une forme géométrique simple ou non.