Representasi Ruang Keadaan

Representasi ruang keadaan menulis ulang sistem dinamis sebagai sekumpulan persamaan orde pertama. Alih-alih bekerja dengan satu persamaan diferensial berorde lebih tinggi, Anda melacak vektor keadaan yang memuat informasi yang dibutuhkan untuk memprediksi apa yang terjadi selanjutnya.

Jika Anda mencari cara mengubah persamaan diferensial ke bentuk ruang keadaan, inilah gagasan intinya: pilih variabel keadaan, tulis persamaan untuk turunan setiap variabel, dan pertahankan model dalam bentuk orde pertama.

Representasi Ruang Keadaan dalam Satu Definisi

Secara umum, model ruang keadaan dapat ditulis sebagai

$$x'(t) = f(x(t), u(t), t)$$

Di sini $x(t)$ adalah vektor keadaan dan $u(t)$ adalah input jika sistem memilikinya. Jika sistem linear dan tak berubah terhadap waktu, gagasan yang sama mengambil bentuk matriks

$$x'(t) = Ax(t) + Bu(t), \qquad y(t) = Cx(t) + Du(t)$$

Versi matriks itu umum dalam teori kontrol dan persamaan diferensial, tetapi ruang keadaan lebih luas daripada kasus linear.

Apa Arti Keadaan

Keadaan adalah kumpulan besaran saat ini yang memungkinkan Anda menentukan perilaku masa depan setelah input diketahui. Untuk benda yang bergerak, posisi saja biasanya tidak cukup. Posisi dan kecepatan bersama-sama sering kali cukup.

Itulah sebabnya representasi ruang keadaan berguna. Bentuk ini mengubah masalah evolusi terhadap waktu menjadi bentuk orde pertama standar yang lebih mudah dianalisis, disimulasikan, dan dihubungkan dengan metode matriks.

Mengapa Menulis Ulang Sistem dengan Cara Ini

Banyak model dimulai sebagai persamaan diferensial berorde lebih tinggi. Bentuk ruang keadaan menulis ulang persamaan itu tanpa mengubah dinamika dasarnya.

Ini penting karena sistem orde pertama mengikuti satu struktur yang sama. Setelah model berada dalam struktur itu, menjadi lebih mudah untuk membahas kondisi awal, input, output, dan kestabilan secara konsisten.

Contoh: Mengubah Persamaan Orde Dua ke Ruang Keadaan

Mulailah dengan

$$y'' + 3y' + 2y = u(t)$$

Di sini $u(t)$ adalah input. Pilih variabel keadaan yang menangkap kondisi sistem saat ini:

$$x_1 = y, \qquad x_2 = y'$$

Sekarang tulis persamaan orde pertama untuk setiap variabel keadaan. Karena $x_1 = y$,

$$x_1' = x_2$$

Karena $x_2 = y'$, kita juga punya $x_2' = y''$. Menyusun ulang persamaan semula menghasilkan

$$y'' = -3y' - 2y + u(t)$$

Substitusikan $y = x_1$ dan $y' = x_2$:

$$x_2' = -2x_1 - 3x_2 + u(t)$$

Jadi persamaan keadaannya adalah

$$\begin{aligned} x_1' &= x_2 \\ x_2' &= -2x_1 - 3x_2 + u(t) \end{aligned}$$

Dalam bentuk vektor, dengan

$$x = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix},$$

ini menjadi

$$x' = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -2 & -3 \end{pmatrix} x + \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} u(t)$$

Jika output adalah besaran asli $y$, maka

$$y = \begin{pmatrix} 1 & 0 \end{pmatrix} x$$

Langkah kuncinya adalah mengubah satu persamaan orde dua menjadi dua persamaan orde pertama. Itulah inti dari representasi ruang keadaan.

Hal yang Perlu Diperhatikan pada Contoh Ini

Variabel keadaan dipilih dengan alasan tertentu. Pilihan itu memungkinkan model ditulis sebagai sistem orde pertama.

Perhatikan juga bahwa output $y$ tidak sama dengan seluruh vektor keadaan. Dalam contoh ini, $y = x_1$, sedangkan keadaan lengkapnya adalah $(x_1, x_2)$. Kedua gagasan itu bisa saling tumpang tindih, tetapi tidak otomatis identik.

Kesalahan Umum Saat Mengubah ke Bentuk Ruang Keadaan

Mencampuradukkan keadaan dengan output

Keadaan memuat variabel internal yang diperlukan agar sistem dapat berkembang. Output adalah besaran yang Anda pilih untuk diamati. Kadang-kadang keduanya tumpang tindih, tetapi tidak otomatis sama.

Menganggap representasinya unik

Biasanya tidak. Pilihan variabel keadaan yang berbeda dapat menggambarkan dinamika yang sama, selama pilihan itu menangkap informasi yang cukup.

Melupakan syarat orde pertama

Model ruang keadaan ditulis sebagai persamaan orde pertama dalam variabel keadaan. Jika masih ada turunan orde dua dari variabel keadaan yang tersisa, penulisan ulangnya belum selesai.

Menganggap setiap model bersifat linear

Bentuk matriks dengan $A$, $B$, $C$, dan $D$ hanya berlaku ketika persamaan linear terhadap variabel keadaan yang dipilih. Sistem nonlinier tetap menggunakan ruang keadaan, tetapi ditulis dengan fungsi, bukan matriks konstan.

Di Mana Representasi Ruang Keadaan Digunakan

Representasi ruang keadaan muncul dalam persamaan diferensial, teori kontrol, pemrosesan sinyal, robotika, dan fisika. Bentuk ini sangat berguna ketika Anda peduli pada bagaimana suatu sistem berubah terhadap waktu dan bagaimana input memengaruhi perubahan itu.

Jika modelnya linear, metode matriks menjadi sangat berguna. Misalnya, nilai eigen dari matriks $A$ dapat membantu menjelaskan pertumbuhan, peluruhan, atau osilasi, tetapi hanya di bawah asumsi yang dibangun ke dalam model.

Coba Versi Anda Sendiri

Ambil

$$y'' + 4y' + 5y = 0$$

dan pilih $x_1 = y$, $x_2 = y'$. Tulis ulang sebagai sistem orde pertama, lalu identifikasi matriks $A$. Jika itu sudah terasa jelas, coba soal serupa dengan suku input dan lihat bagaimana matriks $B$ muncul.