Fungsi Transfer

Fungsi transfer adalah aturan di domain Laplace yang menghubungkan masukan suatu sistem linear tak berubah terhadap waktu dengan keluarannya. Dengan kondisi awal nol, fungsi ini didefinisikan sebagai

$$H(s) = \frac{Y(s)}{X(s)}$$

dengan $X(s)$ sebagai transformasi masukan dan $Y(s)$ sebagai transformasi keluaran. Secara sederhana, fungsi ini memberi tahu seberapa kuat sistem merespons berbagai masukan tanpa harus menyelesaikan seluruh persamaan diferensial dari awal setiap kali.

Ini bukan sekadar "keluaran dibagi masukan" dalam sembarang keadaan. Definisi ini hanya berlaku dalam kondisi tertentu, dan kondisi tersebut penting.

Apa yang Diberitahukan oleh Fungsi Transfer

Fungsi transfer merangkum perilaku sistem ke dalam satu ekspresi. Setelah Anda mengetahui $H(s)$, sering kali Anda bisa langsung melihat apakah sistem memperkuat, melemahkan, menunda, atau menyaring bagian tertentu dari masukan.

Untuk persoalan keadaan tunak sinusoidal, fungsi ini dievaluasi pada sumbu imajiner sebagai $H(i\omega)$. Dari sini diperoleh dua informasi praktis:

• magnitudo, yang menunjukkan seberapa besar masukan sinusoidal pada frekuensi sudut $\omega$ diperkuat atau dilemahkan
• fase, yang menunjukkan seberapa besar keluaran bergeser terhadap masukan

Itulah sebabnya fungsi transfer banyak digunakan dalam rangkaian, getaran, penyaringan, dan kendali.

Kapan $H(s) = Y(s)/X(s)$ Berlaku

Rumus yang umum dipakai mengasumsikan bahwa sistem bersifat linear dan tak berubah terhadap waktu. Jika linearitas tidak berlaku, masukan tidak lagi bergabung menurut prinsip superposisi seperti biasa. Jika sifat tak berubah terhadap waktu tidak berlaku, sistem dapat berperilaku berbeda pada waktu yang berbeda, sehingga satu fungsi transfer tetap tidak cukup.

Kondisi awal nol juga penting. Energi yang tersimpan dalam kapasitor, induktor, atau osilator mekanik mengubah keluaran sebenarnya, tetapi kontribusi tambahan itu bukan bagian dari fungsi transfer itu sendiri. Fungsi transfer menggambarkan aturan masukan-keluaran bawaan sistem dalam pengaturan standar dengan kondisi awal nol.

Contoh Perhitungan: Filter RC Low-Pass

Ambil sebuah resistor $R$ yang disusun seri dengan kapasitor $C$, lalu ukur keluaran pada kapasitor. Di domain Laplace, impedansi kapasitor adalah $1/(sC)$, sehingga aturan pembagi tegangan memberikan

$$H(s) = \frac{V_{out}(s)}{V_{in}(s)} = \frac{\frac{1}{sC}}{R + \frac{1}{sC}} = \frac{1}{1 + sRC}$$

Ini adalah fungsi transfer low-pass. Frekuensi rendah lewat lebih mudah daripada frekuensi tinggi, sehingga keluaran tampak seperti versi masukan yang lebih halus.

Pilih satu kasus konkret:

$$R = 1000\ \Omega, \qquad C = 1\ \mu\mathrm{F}$$

Maka

$$RC = 10^{-3}\ \mathrm{s}$$

sehingga fungsi transfernya menjadi

$$H(s) = \frac{1}{1 + 0.001s}$$

Frekuensi sudut cutoff adalah

$$\omega_c = \frac{1}{RC} = 1000\ \mathrm{rad/s}$$

yang bersesuaian dengan

$$f_c = \frac{\omega_c}{2\pi} \approx 159\ \mathrm{Hz}$$

Pada frekuensi cutoff,

$$\left|H(i\omega_c)\right| = \frac{1}{\sqrt{2}} \approx 0.707$$

Jadi amplitudo keluaran sekitar $70.7\%$ dari amplitudo masukan pada frekuensi tersebut. Satu angka ini saja sudah memberi informasi yang berguna: rangkaian mulai meredam sinyal secara nyata di sekitar $159\ \mathrm{Hz}$ dan di atasnya.

Sebagai pemeriksaan cepat terhadap intuisi, jika $\omega \ll 1000\ \mathrm{rad/s}$, maka $|H(i\omega)|$ mendekati $1$, sehingga keluaran hampir sama besar dengan masukan. Jika $\omega \gg 1000\ \mathrm{rad/s}$, magnitudonya menjadi kecil, sehingga osilasi cepat sangat berkurang.

Kesalahan Umum tentang Fungsi Transfer

• Menggunakan istilah ini untuk sistem yang tidak dimodelkan sebagai linear dan tak berubah terhadap waktu.
• Lupa mendefinisikan variabel mana yang menjadi masukan dan mana yang menjadi keluaran.
• Menganggap fungsi transfer sudah mencakup kondisi awal sembarang.
• Mencampuradukkan fungsi transfer umum di domain Laplace $H(s)$ dengan respons frekuensi $H(i\omega)$.
• Hanya membaca magnitudo dan mengabaikan pergeseran fase ketika fase penting secara fisik.

Di Mana Fungsi Transfer Digunakan

Fungsi transfer berguna setiap kali suatu sistem dapat dimodelkan dengan persamaan diferensial linear dan Anda ingin memahami bagaimana masukan diteruskan ke keluaran. Contoh yang umum meliputi rangkaian RC dan RLC, osilator mekanik teredam, sistem umpan balik, dan model sensor sederhana.

Dalam fisika, fungsi transfer sangat berguna ketika pertanyaan utamanya bukan riwayat waktu lengkap, melainkan bagaimana sistem merespons pemaksaan, penyaringan, atau osilasi pada berbagai frekuensi.

Coba Fungsi Transfer yang Mirip

Coba rangkaian RC yang sama, tetapi ukur keluarannya pada resistor, bukan pada kapasitor. Anda akan memperoleh fungsi transfer high-pass, dan perbandingan itu menegaskan satu gagasan penting: mengubah keluaran akan mengubah fungsi transfer.