Effet Doppler — Formule pour le son et la lumière

L’effet Doppler est la variation de la fréquence observée lorsqu’une source et un observateur se déplacent l’un par rapport à l’autre le long de la ligne de visée. S’ils se rapprochent, la fréquence observée augmente. S’ils s’éloignent, elle diminue.

Pour le son, cela explique pourquoi la sirène d’une ambulance paraît plus aiguë lorsqu’elle approche et plus grave après son passage. Pour la lumière, la même idée apparaît sous la forme du décalage vers le bleu et du décalage vers le rouge, mais la formule est différente, car la lumière ne se traite pas avec le modèle du son dans l’air.

Ce qui change réellement

La grandeur qui se décale est la fréquence observée. Dans beaucoup de problèmes de son, la vitesse de l’onde est fixée par le milieu, tandis que le mouvement relatif modifie la fréquence à laquelle les crêtes d’onde atteignent l’observateur.

C’est pourquoi il est utile de distinguer trois idées :

• fréquence : combien de cycles arrivent chaque seconde
• longueur d’onde : distance entre deux crêtes d’onde
• vitesse de l’onde : vitesse à laquelle la perturbation se propage dans le milieu

Si vous les confondez, les problèmes d’effet Doppler deviennent bien plus difficiles qu’ils ne devraient l’être.

Formule de l’effet Doppler pour le son

Pour le son dans un milieu immobile, une forme courante en $1$D est

$$f_{\mathrm{obs}} = f \frac{v + v_o}{v - v_s}$$

où :

• $f$ est la fréquence émise
• $f_{\mathrm{obs}}$ est la fréquence observée
• $v$ est la vitesse du son dans le milieu
• $v_o$ est la vitesse de l’observateur vers la source
• $v_s$ est la vitesse de la source vers l’observateur

Cette version utilise une convention de signe précise : les vitesses comptées l’une vers l’autre rendent la fréquence observée plus grande. Si la source et l’observateur s’éloignent l’un de l’autre, les signes changent et la fréquence observée devient plus petite.

C’est une formule pour le son dans un milieu, pas une formule universelle pour toutes les ondes. Elle suppose aussi un mouvement le long de la droite reliant la source et l’observateur. Si la vitesse de la source atteint la vitesse du son ou la dépasse, cette formule simple n’est plus le bon modèle.

Formule de l’effet Doppler pour la lumière

Pour la lumière, la formule classique du son ne s’applique pas. Pour un mouvement le long de la ligne de visée, la formule Doppler relativiste pour une source qui s’éloigne de l’observateur est

$$f_{\mathrm{obs}} = f \sqrt{\frac{1 - \beta}{1 + \beta}}$$

où

$$\beta = \frac{v}{c}$$

et $c$ est la vitesse de la lumière dans le vide.

Si la source se déplace vers l’observateur le long de cette même ligne, le facteur s’inverse :

$$f_{\mathrm{obs}} = f \sqrt{\frac{1 + \beta}{1 - \beta}}$$

Ainsi, un éloignement donne une fréquence observée plus faible, souvent appelée décalage vers le rouge, et un rapprochement donne une fréquence observée plus élevée, souvent appelée décalage vers le bleu.

Exemple résolu : sirène d’ambulance

Supposons qu’une ambulance émette une sirène à $f = 700\ \mathrm{Hz}$ et se déplace vers un observateur immobile à $v_s = 30\ \mathrm{m/s}$. Prenons la vitesse du son dans l’air égale à $v = 343\ \mathrm{m/s}$, et supposons l’observateur au repos, donc $v_o = 0$.

Utilisons la formule du son pour un mouvement vers l’observateur :

$$f_{\mathrm{obs}} = 700 \cdot \frac{343 + 0}{343 - 30}$$ $$f_{\mathrm{obs}} = 700 \cdot \frac{343}{313} \approx 767\ \mathrm{Hz}$$

L’observateur entend donc environ $767\ \mathrm{Hz}$ lorsque l’ambulance approche.

Après le passage de l’ambulance, elle s’éloigne. Avec la même convention de signe,

$$f_{\mathrm{obs}} = 700 \cdot \frac{343}{343 + 30}$$ $$f_{\mathrm{obs}} = 700 \cdot \frac{343}{373} \approx 644\ \mathrm{Hz}$$

La sirène paraît maintenant plus grave. Cet unique exemple montre tout le schéma : un rapprochement augmente la fréquence observée, et un éloignement la diminue.

Erreurs fréquentes

Utiliser la formule du son pour la lumière

La formule du son suppose un milieu comme l’air. La lumière n’a pas besoin d’un milieu matériel de la même manière, donc son décalage Doppler doit être traité de façon relativiste.

Oublier que les conventions de signe varient

Selon les livres, les signes plus et moins peuvent apparaître à des endroits différents. La vérification la plus sûre est physique : un rapprochement doit augmenter la fréquence observée, et un éloignement doit la diminuer.

Ignorer le rôle du milieu pour le son

Pour le son, les vitesses de la formule se mesurent par rapport au milieu. Si vous utilisez seulement la vitesse relative source-observateur en ignorant l’air ou un autre milieu, vous pouvez obtenir un résultat faux.

Confondre fréquence émise et fréquence observée

La source émet une fréquence. L’effet Doppler décrit ce qu’un observateur particulier reçoit lorsqu’il existe un mouvement relatif.

Penser qu’une hauteur plus aiguë signifie que la vitesse de l’onde a changé

Dans le modèle usuel du son, c’est toujours le milieu qui fixe la vitesse de l’onde. Le décalage apparaît surtout comme une variation de la fréquence observée et de la longueur d’onde.

Où l’effet Doppler est utilisé

On rencontre l’effet Doppler dans les sons du quotidien, mais il joue aussi un rôle dans les mesures de vitesse par radar, l’échographie médicale et l’astronomie.

En astronomie, le décalage observé de la lumière aide les scientifiques à déduire un mouvement le long de la ligne de visée. Cela ne dit pas tout à lui seul sur le mouvement de l’objet, mais c’est un indice très puissant.

Essayez un cas similaire

Gardez la sirène à $700\ \mathrm{Hz}$ et changez la vitesse de l’ambulance à $20\ \mathrm{m/s}$ ou $40\ \mathrm{m/s}$. Calculez la fréquence observée avant et après le passage, puis vérifiez si l’amplitude du décalage change comme vous vous y attendez.

Si vous voulez une bonne étape suivante, comparez cette idée avec l’équation d’onde. Cela aide à bien distinguer fréquence, longueur d’onde et vitesse de l’onde.