ปรากฏการณ์ดอปเพลอร์ — สูตรสำหรับเสียงและแสง

ปรากฏการณ์ดอปเพลอร์คือการเปลี่ยนแปลงของความถี่ที่สังเกตได้ เมื่อแหล่งกำเนิดและผู้สังเกตเคลื่อนที่สัมพัทธ์กันตามแนวเส้นตรงที่มองเห็นกัน หากเคลื่อนที่เข้าหากัน ความถี่ที่สังเกตได้จะสูงขึ้น หากเคลื่อนที่ออกจากกัน ความถี่จะลดลง

สำหรับเสียง สิ่งนี้อธิบายได้ว่าทำไมเสียงไซเรนรถพยาบาลจึงฟังดูแหลมขึ้นเมื่อรถกำลังเข้าใกล้ และต่ำลงหลังจากขับผ่านไปแล้ว สำหรับแสง แนวคิดเดียวกันนี้ปรากฏในรูปของการเลื่อนไปทางน้ำเงินและการเลื่อนไปทางแดง แต่สูตรต่างออกไป เพราะแสงไม่ได้ใช้แบบจำลองเสียงในอากาศ

อะไรคือสิ่งที่เปลี่ยนจริง ๆ

ปริมาณที่เปลี่ยนคือ ความถี่ที่สังเกตได้ ในโจทย์เสียงหลายข้อ อัตราเร็วคลื่นถูกกำหนดโดยตัวกลาง ขณะที่การเคลื่อนที่สัมพัทธ์จะเปลี่ยนว่าหน้ายอดคลื่นมาถึงผู้สังเกตบ่อยแค่ไหน

นั่นจึงเป็นเหตุผลว่าทำไมควรแยก 3 แนวคิดนี้ออกจากกัน:

• ความถี่: ในหนึ่งวินาทีมีครบกี่รอบ
• ความยาวคลื่น: ระยะห่างระหว่างยอดคลื่น
• อัตราเร็วคลื่น: การรบกวนเคลื่อนที่ผ่านตัวกลางเร็วแค่ไหน

ถ้าคุณสับสนระหว่างสิ่งเหล่านี้ โจทย์ดอปเพลอร์จะยากกว่าที่ควรจะเป็นมาก

สูตรปรากฏการณ์ดอปเพลอร์สำหรับเสียง

สำหรับเสียงในตัวกลางที่อยู่นิ่ง รูปแบบหนึ่งมิติที่ใช้กันบ่อยคือ

$$f_{\mathrm{obs}} = f \frac{v + v_o}{v - v_s}$$

โดยที่:

• $f$ คือความถี่ที่แหล่งกำเนิดปล่อยออกมา
• $f_{\mathrm{obs}}$ คือความถี่ที่สังเกตได้
• $v$ คืออัตราเร็วเสียงในตัวกลาง
• $v_o$ คืออัตราเร็วของผู้สังเกตที่เคลื่อนที่เข้าหาแหล่งกำเนิด
• $v_s$ คืออัตราเร็วของแหล่งกำเนิดที่เคลื่อนที่เข้าหาผู้สังเกต

รูปแบบนี้ใช้ข้อตกลงเรื่องเครื่องหมายแบบหนึ่งโดยเฉพาะ: ถ้าความเร็วถูกนับในทิศที่เข้าหากัน ความถี่ที่สังเกตได้จะมากขึ้น หากแหล่งกำเนิดและผู้สังเกตเคลื่อนที่ออกจากกัน เครื่องหมายจะเปลี่ยน และความถี่ที่สังเกตได้จะน้อยลง

นี่เป็นสูตรสำหรับเสียงในตัวกลาง ไม่ใช่สูตรสากลสำหรับคลื่นทุกชนิด และยังสมมติว่าการเคลื่อนที่เกิดตามแนวเส้นตรงที่เชื่อมแหล่งกำเนิดกับผู้สังเกต หากอัตราเร็วของแหล่งกำเนิดเท่ากับหรือมากกว่าอัตราเร็วเสียง สูตรอย่างง่ายนี้จะไม่ใช่แบบจำลองที่ถูกต้องอีกต่อไป

สูตรปรากฏการณ์ดอปเพลอร์สำหรับแสง

สำหรับแสง สูตรคลาสสิกของเสียงใช้ไม่ได้ สำหรับการเคลื่อนที่ตามแนวเส้นตรงที่มองเห็นกัน สูตรดอปเพลอร์เชิงสัมพัทธภาพสำหรับแหล่งกำเนิดที่เคลื่อนที่ออกห่างจากผู้สังเกตคือ

$$f_{\mathrm{obs}} = f \sqrt{\frac{1 - \beta}{1 + \beta}}$$

โดยที่

$$\beta = \frac{v}{c}$$

และ $c$ คืออัตราเร็วแสงในสุญญากาศ

ถ้าแหล่งกำเนิดเคลื่อนที่เข้าหาผู้สังเกตตามแนวเดียวกัน ตัวประกอบจะสลับเป็น

$$f_{\mathrm{obs}} = f \sqrt{\frac{1 + \beta}{1 - \beta}}$$

ดังนั้น การเคลื่อนที่ออกห่างทำให้ความถี่ที่สังเกตได้ต่ำลง ซึ่งมักเรียกว่า การเลื่อนไปทางแดง และการเคลื่อนที่เข้าหาทำให้ความถี่ที่สังเกตได้สูงขึ้น ซึ่งมักเรียกว่า การเลื่อนไปทางน้ำเงิน

ตัวอย่างคำนวณ: ไซเรนรถพยาบาล

สมมติว่ารถพยาบาลปล่อยเสียงไซเรนที่ $f = 700\ \mathrm{Hz}$ และเคลื่อนที่เข้าหาผู้สังเกตที่อยู่นิ่งด้วย $v_s = 30\ \mathrm{m/s}$ กำหนดให้อัตราเร็วเสียงในอากาศเป็น $v = 343\ \mathrm{m/s}$ และให้ผู้สังเกตอยู่นิ่ง ดังนั้น $v_o = 0$

ใช้สูตรของเสียงสำหรับการเคลื่อนที่เข้าหาผู้สังเกต:

$$f_{\mathrm{obs}} = 700 \cdot \frac{343 + 0}{343 - 30}$$ $$f_{\mathrm{obs}} = 700 \cdot \frac{343}{313} \approx 767\ \mathrm{Hz}$$

ดังนั้นผู้สังเกตจะได้ยินประมาณ $767\ \mathrm{Hz}$ ขณะที่รถพยาบาลกำลังเข้าใกล้

หลังจากรถพยาบาลขับผ่านไปแล้ว มันกำลังเคลื่อนที่ออกห่าง ในข้อตกลงเรื่องเครื่องหมายเดียวกัน

$$f_{\mathrm{obs}} = 700 \cdot \frac{343}{343 + 30}$$ $$f_{\mathrm{obs}} = 700 \cdot \frac{343}{373} \approx 644\ \mathrm{Hz}$$

ตอนนี้เสียงไซเรนจะฟังดูต่ำลง ตัวอย่างเดียวนี้แสดงรูปแบบทั้งหมดได้ชัดเจน: การเคลื่อนที่เข้าหาทำให้ความถี่ที่สังเกตได้สูงขึ้น และการเคลื่อนที่ออกห่างทำให้ต่ำลง

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

ใช้สูตรของเสียงกับแสง

สูตรของเสียงตั้งอยู่บนสมมติฐานว่ามีตัวกลาง เช่น อากาศ แต่แสงไม่ต้องอาศัยตัวกลางวัตถุในลักษณะเดียวกัน ดังนั้นการเลื่อนดอปเพลอร์ของแสงต้องพิจารณาแบบสัมพัทธภาพ

ลืมว่าข้อตกลงเรื่องเครื่องหมายอาจต่างกัน

หนังสือแต่ละเล่มอาจวางเครื่องหมายบวกและลบไว้คนละตำแหน่ง วิธีตรวจสอบที่ปลอดภัยคือดูตามหลักกายภาพ: การเคลื่อนที่เข้าหาควรทำให้ความถี่ที่สังเกตได้เพิ่มขึ้น และการเคลื่อนที่ออกห่างควรทำให้ลดลง

มองข้ามบทบาทของตัวกลางสำหรับเสียง

สำหรับเสียง ความเร็วในสูตรวัดเทียบกับตัวกลาง หากคุณใช้เพียงความเร็วสัมพัทธ์ระหว่างแหล่งกำเนิดกับผู้สังเกต และละเลยอากาศหรือตัวกลางอื่น คุณอาจได้คำตอบผิด

สับสนระหว่างความถี่ที่ปล่อยออกมากับความถี่ที่สังเกตได้

แหล่งกำเนิดปล่อยความถี่ค่าเดียวออกมา ปรากฏการณ์ดอปเพลอร์อธิบายว่าผู้สังเกตคนหนึ่งได้รับความถี่เท่าใดเมื่อมีการเคลื่อนที่สัมพัทธ์

คิดว่าเสียงแหลมขึ้นแปลว่าอัตราเร็วคลื่นเปลี่ยน

ในแบบจำลองเสียงทั่วไป ตัวกลางยังคงเป็นตัวกำหนดอัตราเร็วคลื่น การเปลี่ยนแปลงหลักจะปรากฏเป็นการเปลี่ยนของความถี่ที่สังเกตได้และความยาวคลื่น

ปรากฏการณ์ดอปเพลอร์ถูกใช้ที่ไหนบ้าง

คุณพบปรากฏการณ์ดอปเพลอร์ได้ในเสียงรอบตัวในชีวิตประจำวัน แต่ยังมีความสำคัญในเรดาร์วัดความเร็ว อัลตราซาวด์ทางการแพทย์ และดาราศาสตร์ด้วย

ในดาราศาสตร์ การเลื่อนของแสงที่สังเกตได้ช่วยให้นักวิทยาศาสตร์อนุมานการเคลื่อนที่ตามแนวเส้นตรงที่มองเห็นกันได้ แม้สิ่งนี้จะไม่ได้บอกทุกอย่างเกี่ยวกับการเคลื่อนที่ของวัตถุด้วยตัวมันเอง แต่ก็เป็นเบาะแสที่ทรงพลังมาก

ลองทำกรณีที่คล้ายกัน

คงค่าไซเรนไว้ที่ $700\ \mathrm{Hz}$ แล้วเปลี่ยนอัตราเร็วของรถพยาบาลเป็น $20\ \mathrm{m/s}$ หรือ $40\ \mathrm{m/s}$ คำนวณความถี่ที่สังเกตได้ก่อนและหลังรถขับผ่าน แล้วตรวจดูว่าขนาดของการเลื่อนเปลี่ยนไปตามที่คุณคาดไว้หรือไม่

ถ้าคุณอยากต่อยอดอีกหนึ่งขั้นที่มีประโยชน์ ให้เปรียบเทียบแนวคิดนี้กับ สมการคลื่น วิธีนี้จะช่วยให้แยกความถี่ ความยาวคลื่น และอัตราเร็วคลื่นออกจากกันได้ง่ายขึ้น