Doppler-Effekt — Formel für Schall und Licht

Der Doppler-Effekt ist die Änderung der beobachteten Frequenz, wenn sich eine Quelle und ein Beobachter entlang der Sichtlinie relativ zueinander bewegen. Bewegen sie sich aufeinander zu, steigt die beobachtete Frequenz. Bewegen sie sich voneinander weg, sinkt sie.

Bei Schall erklärt das, warum die Sirene eines Krankenwagens beim Annähern höher und nach dem Vorbeifahren tiefer klingt. Bei Licht erscheint dieselbe Grundidee als Blauverschiebung und Rotverschiebung, aber die Formel ist anders, weil Licht nicht mit dem Schall-im-Medium-Modell behandelt wird.

Was sich tatsächlich ändert

Die Größe, die sich verschiebt, ist die beobachtete Frequenz. In vielen Schallaufgaben wird die Wellengeschwindigkeit durch das Medium festgelegt, während die Relativbewegung verändert, wie oft Wellenberge den Beobachter erreichen.

Deshalb ist es hilfreich, drei Dinge zu trennen:

• Frequenz: wie viele Schwingungen pro Sekunde ankommen
• Wellenlänge: der Abstand zwischen Wellenbergen
• Wellengeschwindigkeit: wie schnell sich die Störung durch das Medium bewegt

Wenn man diese Begriffe verwechselt, werden Doppler-Aufgaben viel schwieriger als nötig.

Doppler-Effekt-Formel für Schall

Für Schall in einem ruhenden Medium ist eine gebräuchliche $1$D-Form

$$f_{\mathrm{obs}} = f \frac{v + v_o}{v - v_s}$$

wobei:

• $f$ die ausgesendete Frequenz ist
• $f_{\mathrm{obs}}$ die beobachtete Frequenz ist
• $v$ die Schallgeschwindigkeit im Medium ist
• $v_o$ die Geschwindigkeit des Beobachters auf die Quelle zu ist
• $v_s$ die Geschwindigkeit der Quelle auf den Beobachter zu ist

Diese Version verwendet eine bestimmte Vorzeichenkonvention: Geschwindigkeiten, die aufeinander zu gerichtet sind, machen die beobachtete Frequenz größer. Wenn sich Quelle und Beobachter voneinander entfernen, ändern sich die Vorzeichen und die beobachtete Frequenz wird kleiner.

Das ist eine Formel für Schall in einem Medium, keine universelle Formel für jede Welle. Außerdem setzt sie Bewegung entlang der Verbindungslinie zwischen Quelle und Beobachter voraus. Wenn die Geschwindigkeit der Quelle die Schallgeschwindigkeit erreicht oder überschreitet, ist diese einfache Formel nicht mehr das richtige Modell.

Doppler-Effekt-Formel für Licht

Für Licht gilt die klassische Schallformel nicht. Für Bewegung entlang der Sichtlinie lautet die relativistische Doppler-Formel für eine Quelle, die sich vom Beobachter entfernt,

$$f_{\mathrm{obs}} = f \sqrt{\frac{1 - \beta}{1 + \beta}}$$

wobei

$$\beta = \frac{v}{c}$$

ist und $c$ die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum ist.

Bewegt sich die Quelle entlang derselben Linie auf den Beobachter zu, kehrt sich der Faktor um:

$$f_{\mathrm{obs}} = f \sqrt{\frac{1 + \beta}{1 - \beta}}$$

Bewegung weg vom Beobachter ergibt also eine kleinere beobachtete Frequenz, oft Rotverschiebung genannt, und Bewegung auf den Beobachter zu ergibt eine größere beobachtete Frequenz, oft Blauverschiebung genannt.

Durchgerechnetes Beispiel: Sirene eines Krankenwagens

Angenommen, ein Krankenwagen sendet eine Sirene mit $f = 700\ \mathrm{Hz}$ aus und bewegt sich mit $v_s = 30\ \mathrm{m/s}$ auf einen ruhenden Beobachter zu. Die Schallgeschwindigkeit in Luft sei $v = 343\ \mathrm{m/s}$, und der Beobachter ruht, also ist $v_o = 0$.

Verwende die Schallformel für Bewegung auf den Beobachter zu:

$$f_{\mathrm{obs}} = 700 \cdot \frac{343 + 0}{343 - 30}$$ $$f_{\mathrm{obs}} = 700 \cdot \frac{343}{313} \approx 767\ \mathrm{Hz}$$

Der Beobachter hört also beim Annähern des Krankenwagens etwa $767\ \mathrm{Hz}$.

Nachdem der Krankenwagen vorbeigefahren ist, entfernt er sich. In derselben Vorzeichenkonvention gilt dann

$$f_{\mathrm{obs}} = 700 \cdot \frac{343}{343 + 30}$$ $$f_{\mathrm{obs}} = 700 \cdot \frac{343}{373} \approx 644\ \mathrm{Hz}$$

Jetzt klingt die Sirene tiefer. Dieses eine Beispiel zeigt das ganze Muster: Bewegung auf den Beobachter zu erhöht die beobachtete Frequenz, und Bewegung vom Beobachter weg verringert sie.

Häufige Fehler

Die Schallformel für Licht verwenden

Die Schallformel setzt ein Medium wie Luft voraus. Licht braucht auf dieselbe Weise kein materielles Medium, daher muss seine Doppler-Verschiebung relativistisch behandelt werden.

Vergessen, dass Vorzeichenkonventionen variieren

In verschiedenen Büchern können Plus- und Minuszeichen an unterschiedlichen Stellen stehen. Die sichere Kontrolle ist physikalisch: Bewegung aufeinander zu sollte die beobachtete Frequenz erhöhen, und Bewegung voneinander weg sollte sie verringern.

Die Rolle des Mediums bei Schall ignorieren

Bei Schall werden die Geschwindigkeiten in der Formel relativ zum Medium gemessen. Wenn du nur die Relativgeschwindigkeit zwischen Quelle und Beobachter verwendest und die Luft oder ein anderes Medium ignorierst, kannst du ein falsches Ergebnis bekommen.

Ausgesendete Frequenz und beobachtete Frequenz verwechseln

Die Quelle sendet eine bestimmte Frequenz aus. Der Doppler-Effekt beschreibt, was ein bestimmter Beobachter bei Relativbewegung empfängt.

Denken, dass eine höhere Tonhöhe bedeutet, dass sich die Wellengeschwindigkeit geändert hat

Im üblichen Schallmodell legt das Medium weiterhin die Wellengeschwindigkeit fest. Die Verschiebung zeigt sich hauptsächlich als Änderung der beobachteten Frequenz und der Wellenlänge.

Wo der Doppler-Effekt verwendet wird

Man begegnet dem Doppler-Effekt bei alltäglichem Schall, aber er ist auch wichtig bei Radarmessungen von Geschwindigkeiten, in der medizinischen Ultraschalldiagnostik und in der Astronomie.

In der Astronomie hilft die beobachtete Verschiebung des Lichts dabei, Bewegungen entlang der Sichtlinie zu erschließen. Das sagt für sich allein noch nicht alles über die Bewegung eines Objekts aus, ist aber ein starker Hinweis.

Probiere einen ähnlichen Fall

Lass die Sirene bei $700\ \mathrm{Hz}$ und ändere die Geschwindigkeit des Krankenwagens auf $20\ \mathrm{m/s}$ oder $40\ \mathrm{m/s}$. Berechne die beobachtete Frequenz vor und nach dem Vorbeifahren und prüfe dann, ob sich die Größe der Verschiebung so ändert, wie du es erwartest.

Wenn du danach einen sinnvollen nächsten Schritt machen willst, vergleiche diese Idee mit der Wellengleichung. Das macht es leichter, Frequenz, Wellenlänge und Wellengeschwindigkeit auseinanderzuhalten.