Efekt Dopplera — wzór dla dźwięku i światła

Efekt Dopplera to zmiana obserwowanej częstotliwości, gdy źródło i obserwator poruszają się względem siebie wzdłuż linii widzenia. Jeśli zbliżają się do siebie, obserwowana częstotliwość rośnie. Jeśli się oddalają, maleje.

Dla dźwięku wyjaśnia to, dlaczego syrena karetki brzmi wyżej, gdy pojazd się zbliża, i niżej po minięciu obserwatora. Dla światła ta sama idea pojawia się jako przesunięcie ku błękitowi i ku czerwieni, ale wzór jest inny, ponieważ światła nie opisuje się modelem dźwięku w powietrzu.

Co tak naprawdę się zmienia

Wielkością, która ulega przesunięciu, jest obserwowana częstotliwość. W wielu zadaniach z dźwiękiem prędkość fali jest wyznaczana przez ośrodek, a ruch względny zmienia to, jak często grzbiety fali docierają do obserwatora.

Dlatego warto rozdzielić trzy pojęcia:

• częstotliwość: ile cykli dociera w każdej sekundzie
• długość fali: odległość między kolejnymi grzbietami fali
• prędkość fali: jak szybko zaburzenie porusza się w ośrodku

Jeśli pomylisz te pojęcia, zadania o efekcie Dopplera staną się znacznie trudniejsze, niż muszą być.

Wzór na efekt Dopplera dla dźwięku

Dla dźwięku w nieruchomym ośrodku jedną z często używanych postaci $1$D jest

$$f_{\mathrm{obs}} = f \frac{v + v_o}{v - v_s}$$

gdzie:

• $f$ to częstotliwość emitowana
• $f_{\mathrm{obs}}$ to częstotliwość obserwowana
• $v$ to prędkość dźwięku w ośrodku
• $v_o$ to prędkość obserwatora skierowana ku źródłu
• $v_s$ to prędkość źródła skierowana ku obserwatorowi

Ta wersja używa konkretnej konwencji znaków: prędkości liczone „ku sobie” zwiększają obserwowaną częstotliwość. Jeśli źródło i obserwator oddalają się od siebie, znaki się zmieniają, a obserwowana częstotliwość maleje.

To jest wzór dla dźwięku w ośrodku, a nie uniwersalny wzór dla każdej fali. Zakłada też ruch wzdłuż prostej łączącej źródło i obserwatora. Jeśli prędkość źródła osiąga prędkość dźwięku lub ją przekracza, ten prosty wzór przestaje być właściwym modelem.

Wzór na efekt Dopplera dla światła

Dla światła klasyczny wzór dla dźwięku nie ma zastosowania. Dla ruchu wzdłuż linii widzenia relatywistyczny wzór Dopplera dla źródła oddalającego się od obserwatora ma postać

$$f_{\mathrm{obs}} = f \sqrt{\frac{1 - \beta}{1 + \beta}}$$

gdzie

$$\beta = \frac{v}{c}$$

a $c$ to prędkość światła w próżni.

Jeśli źródło porusza się ku obserwatorowi wzdłuż tej samej prostej, czynnik odwraca się:

$$f_{\mathrm{obs}} = f \sqrt{\frac{1 + \beta}{1 - \beta}}$$

Zatem ruch od obserwatora daje niższą obserwowaną częstotliwość, co często nazywa się przesunięciem ku czerwieni, a ruch ku obserwatorowi daje wyższą częstotliwość, co często nazywa się przesunięciem ku błękitowi.

Przykład obliczeniowy: syrena karetki

Załóżmy, że karetka emituje syrenę o częstotliwości $f = 700\ \mathrm{Hz}$ i porusza się ku nieruchomemu obserwatorowi z prędkością $v_s = 30\ \mathrm{m/s}$. Przyjmij prędkość dźwięku w powietrzu równą $v = 343\ \mathrm{m/s}$, a obserwator niech pozostaje w spoczynku, więc $v_o = 0$.

Użyj wzoru dla dźwięku przy ruchu ku obserwatorowi:

$$f_{\mathrm{obs}} = 700 \cdot \frac{343 + 0}{343 - 30}$$ $$f_{\mathrm{obs}} = 700 \cdot \frac{343}{313} \approx 767\ \mathrm{Hz}$$

Zatem obserwator słyszy około $767\ \mathrm{Hz}$, gdy karetka się zbliża.

Po minięciu obserwatora karetka się oddala. W tej samej konwencji znaków

$$f_{\mathrm{obs}} = 700 \cdot \frac{343}{343 + 30}$$ $$f_{\mathrm{obs}} = 700 \cdot \frac{343}{373} \approx 644\ \mathrm{Hz}$$

Teraz syrena brzmi niżej. Ten jeden przykład pokazuje cały schemat: ruch ku obserwatorowi zwiększa obserwowaną częstotliwość, a ruch od obserwatora ją zmniejsza.

Typowe błędy

Używanie wzoru dla dźwięku do światła

Wzór dla dźwięku zakłada istnienie ośrodka, takiego jak powietrze. Światło nie potrzebuje materialnego ośrodka w ten sam sposób, więc jego przesunięcie Dopplera trzeba opisywać relatywistycznie.

Zapominanie, że konwencje znaków bywają różne

W różnych książkach znaki plus i minus mogą pojawiać się w innych miejscach. Najbezpieczniejsza kontrola jest fizyczna: ruch ku sobie powinien zwiększać obserwowaną częstotliwość, a ruch od siebie powinien ją zmniejszać.

Pomijanie roli ośrodka dla dźwięku

Dla dźwięku prędkości we wzorze mierzy się względem ośrodka. Jeśli użyjesz tylko względnej prędkości źródła i obserwatora, ignorując powietrze lub inny ośrodek, możesz otrzymać błędny wynik.

Mylenie częstotliwości emitowanej z obserwowaną

Źródło emituje jedną częstotliwość. Efekt Dopplera opisuje to, co odbiera konkretny obserwator, gdy występuje ruch względny.

Myślenie, że wyższy ton oznacza zmianę prędkości fali

W typowym modelu dźwięku to ośrodek nadal wyznacza prędkość fali. Przesunięcie ujawnia się głównie jako zmiana obserwowanej częstotliwości i długości fali.

Gdzie wykorzystuje się efekt Dopplera

Efekt Dopplera występuje w codziennych zjawiskach dźwiękowych, ale ma też znaczenie w radarowym pomiarze prędkości, ultrasonografii medycznej i astronomii.

W astronomii obserwowane przesunięcie światła pomaga naukowcom wnioskować o ruchu wzdłuż linii widzenia. Samo w sobie nie mówi wszystkiego o ruchu obiektu, ale jest bardzo ważną wskazówką.

Spróbuj podobnego przypadku

Pozostaw częstotliwość syreny na poziomie $700\ \mathrm{Hz}$ i zmień prędkość karetki na $20\ \mathrm{m/s}$ albo $40\ \mathrm{m/s}$. Oblicz obserwowaną częstotliwość przed minięciem i po minięciu obserwatora, a potem sprawdź, czy wielkość przesunięcia zmienia się tak, jak oczekujesz.

Jeśli chcesz zrobić kolejny sensowny krok, porównaj tę ideę z równaniem fali. Dzięki temu łatwiej oddzielić od siebie częstotliwość, długość fali i prędkość fali.