도플러 효과 — 소리와 빛의 공식

도플러 효과는 광선 방향을 따라 음원과 관측자가 서로 상대적으로 움직일 때 관측되는 주파수가 변하는 현상입니다. 서로 가까워지면 관측 주파수는 커지고, 멀어지면 작아집니다.

소리에서는 이것이 구급차 사이렌이 다가올 때 더 높게 들리고 지나간 뒤에는 더 낮게 들리는 이유를 설명합니다. 빛에서도 같은 아이디어가 청색편이와 적색편이로 나타나지만, 빛은 공기 중 소리 모델로 다루지 않기 때문에 공식은 다릅니다.

실제로 무엇이 변할까

변하는 양은 관측 주파수입니다. 많은 소리 문제에서는 파동의 속력이 매질에 의해 정해지고, 상대운동은 파마루가 관측자에게 얼마나 자주 도달하는지를 바꿉니다.

그래서 다음 세 가지를 구분하는 것이 중요합니다:

• 주파수: 1초마다 몇 번의 진동이 도착하는가
• 파장: 파마루 사이의 간격
• 파동 속력: 교란이 매질을 통해 얼마나 빠르게 이동하는가

이것들을 혼동하면 도플러 문제는 필요 이상으로 훨씬 어려워집니다.

소리에 대한 도플러 효과 공식

정지한 매질에서의 소리에 대해, 자주 쓰는 1차원 형태 중 하나는 다음과 같습니다.

$$f_{\mathrm{obs}} = f \frac{v + v_o}{v - v_s}$$

여기서:

• $f$는 방출된 주파수
• $f_{\mathrm{obs}}$는 관측된 주파수
• $v$는 매질에서의 음속
• $v_o$는 음원 쪽으로 향하는 관측자의 속력
• $v_s$는 관측자 쪽으로 향하는 음원의 속력

이 식은 특정한 부호 규약을 사용합니다. 서로를 향하는 방향의 속력을 양으로 잡으면 관측 주파수는 더 커집니다. 음원과 관측자가 서로 멀어지면 부호가 바뀌고, 관측 주파수는 더 작아집니다.

이것은 매질 속 소리에 대한 공식이지, 모든 파동에 보편적으로 적용되는 공식이 아닙니다. 또한 운동이 음원과 관측자를 잇는 직선 방향을 따른다고 가정합니다. 음원의 속력이 음속에 도달하거나 그보다 커지면, 이 단순한 공식은 더 이상 올바른 모델이 아닙니다.

빛에 대한 도플러 효과 공식

빛에는 고전적인 소리 공식을 적용할 수 없습니다. 광선 방향을 따라 운동할 때, 관측자로부터 멀어지는 음원에 대한 상대론적 도플러 공식은 다음과 같습니다.

$$f_{\mathrm{obs}} = f \sqrt{\frac{1 - \beta}{1 + \beta}}$$

여기서

$$\beta = \frac{v}{c}$$

이고, $c$는 진공에서의 빛의 속력입니다.

같은 직선 방향에서 음원이 관측자를 향해 움직이면, 계수는 반대로 바뀝니다.

$$f_{\mathrm{obs}} = f \sqrt{\frac{1 + \beta}{1 - \beta}}$$

따라서 멀어지는 운동은 더 낮은 관측 주파수를 만들며, 이를 흔히 적색편이라고 합니다. 반대로 다가오는 운동은 더 높은 관측 주파수를 만들며, 이를 흔히 청색편이라고 합니다.

예제: 구급차 사이렌

구급차가 $f = 700\ \mathrm{Hz}$의 사이렌을 내고 있고, 정지한 관측자를 향해 $v_s = 30\ \mathrm{m/s}$로 움직인다고 합시다. 공기 중 음속은 $v = 343\ \mathrm{m/s}$로 두고, 관측자는 정지해 있으므로 $v_o = 0$입니다.

관측자를 향해 움직이는 경우의 소리 공식을 사용하면,

$$f_{\mathrm{obs}} = 700 \cdot \frac{343 + 0}{343 - 30}$$ $$f_{\mathrm{obs}} = 700 \cdot \frac{343}{313} \approx 767\ \mathrm{Hz}$$

따라서 구급차가 다가올 때 관측자는 약 $767\ \mathrm{Hz}$를 듣습니다.

구급차가 지나간 뒤에는 멀어지고 있습니다. 같은 부호 규약을 쓰면,

$$f_{\mathrm{obs}} = 700 \cdot \frac{343}{343 + 30}$$ $$f_{\mathrm{obs}} = 700 \cdot \frac{343}{373} \approx 644\ \mathrm{Hz}$$

이제 사이렌은 더 낮게 들립니다. 이 한 가지 예시만으로도 전체 패턴을 볼 수 있습니다. 다가오면 관측 주파수가 올라가고, 멀어지면 내려갑니다.

흔한 실수

빛에 소리 공식을 사용하는 경우

소리 공식은 공기 같은 매질을 가정합니다. 빛은 같은 방식으로 물질 매질을 필요로 하지 않으므로, 빛의 도플러 이동은 상대론적으로 다뤄야 합니다.

부호 규약이 다를 수 있다는 점을 잊는 경우

책마다 플러스와 마이너스 부호를 두는 위치가 다를 수 있습니다. 안전한 확인 방법은 물리적 의미를 보는 것입니다. 다가오는 운동은 관측 주파수를 증가시켜야 하고, 멀어지는 운동은 감소시켜야 합니다.

소리에서 매질의 역할을 무시하는 경우

소리에서는 공식에 들어가는 속력들이 매질에 대한 속력으로 측정됩니다. 음원과 관측자의 상대속력만 쓰고 공기나 다른 매질을 무시하면 잘못된 결과가 나올 수 있습니다.

방출 주파수와 관측 주파수를 혼동하는 경우

음원은 하나의 주파수를 방출합니다. 도플러 효과는 상대운동이 있을 때 특정 관측자가 실제로 받는 주파수를 설명합니다.

음높이가 높아졌다는 것이 파동 속력이 변했다는 뜻이라고 생각하는 경우

일반적인 소리 모델에서는 여전히 매질이 파동 속력을 정합니다. 변화는 주로 관측 주파수와 파장에서 나타납니다.

도플러 효과는 어디에 쓰일까

도플러 효과는 일상적인 소리에서 볼 수 있을 뿐 아니라, 레이더 속도 측정, 의료 초음파, 천문학에서도 중요합니다.

천문학에서는 빛의 관측된 이동을 통해 광선 방향을 따른 운동을 추론할 수 있습니다. 이것만으로 물체의 운동을 전부 알 수 있는 것은 아니지만, 매우 강력한 단서가 됩니다.

비슷한 경우를 직접 해보기

사이렌은 $700\ \mathrm{Hz}$로 그대로 두고, 구급차의 속력을 $20\ \mathrm{m/s}$ 또는 $40\ \mathrm{m/s}$로 바꿔 보세요. 지나가기 전과 후의 관측 주파수를 계산한 다음, 이동량의 크기가 예상한 방식으로 바뀌는지 확인해 보세요.

그다음 유용한 다음 단계로는 이 개념을 파동 방정식과 비교해 보는 것입니다. 그러면 주파수, 파장, 파동 속력을 더 쉽게 구분할 수 있습니다.