Φαινόμενο Doppler — Τύπος για Ήχο και Φως

Το φαινόμενο Doppler είναι η μεταβολή της παρατηρούμενης συχνότητας όταν μια πηγή και ένας παρατηρητής κινούνται σχετικά μεταξύ τους κατά μήκος της ευθείας όρασης. Αν κινούνται ο ένας προς τον άλλο, η παρατηρούμενη συχνότητα αυξάνεται. Αν απομακρύνονται, μειώνεται.

Για τον ήχο, αυτό εξηγεί γιατί η σειρήνα ενός ασθενοφόρου ακούγεται πιο οξεία καθώς πλησιάζει και πιο βαριά αφού περάσει. Για το φως, η ίδια ιδέα εμφανίζεται ως μετατόπιση προς το μπλε και μετατόπιση προς το ερυθρό, αλλά ο τύπος είναι διαφορετικός επειδή το φως δεν περιγράφεται με το μοντέλο του ήχου στον αέρα.

Τι Αλλάζει Πραγματικά

Το μέγεθος που μετατοπίζεται είναι η παρατηρούμενη συχνότητα. Σε πολλά προβλήματα ήχου, η ταχύτητα του κύματος καθορίζεται από το μέσο, ενώ η σχετική κίνηση αλλάζει το πόσο συχνά φτάνουν οι κορυφές του κύματος στον παρατηρητή.

Γι’ αυτό βοηθά να ξεχωρίζεις τρεις έννοιες:

• συχνότητα: πόσοι κύκλοι φτάνουν κάθε δευτερόλεπτο
• μήκος κύματος: η απόσταση ανάμεσα στις κορυφές του κύματος
• ταχύτητα κύματος: πόσο γρήγορα διαδίδεται η διαταραχή μέσα στο μέσο

Αν τα μπερδέψεις αυτά, τα προβλήματα Doppler γίνονται πολύ πιο δύσκολα απ’ όσο χρειάζεται.

Τύπος του Φαινομένου Doppler για Ήχο

Για ήχο σε ακίνητο μέσο, μια συνηθισμένη μονοδιάστατη μορφή είναι

$$f_{\mathrm{obs}} = f \frac{v + v_o}{v - v_s}$$

όπου:

• $f$ είναι η εκπεμπόμενη συχνότητα
• $f_{\mathrm{obs}}$ είναι η παρατηρούμενη συχνότητα
• $v$ είναι η ταχύτητα του ήχου στο μέσο
• $v_o$ είναι η ταχύτητα του παρατηρητή προς την πηγή
• $v_s$ είναι η ταχύτητα της πηγής προς τον παρατηρητή

Αυτή η εκδοχή χρησιμοποιεί μια συγκεκριμένη σύμβαση προσήμων: οι ταχύτητες που μετρώνται έτσι ώστε τα σώματα να κινούνται το ένα προς το άλλο κάνουν την παρατηρούμενη συχνότητα μεγαλύτερη. Αν η πηγή και ο παρατηρητής απομακρύνονται μεταξύ τους, τα πρόσημα αλλάζουν και η παρατηρούμενη συχνότητα γίνεται μικρότερη.

Αυτός είναι τύπος για ήχο σε μέσο, όχι ένας καθολικός τύπος για κάθε κύμα. Επίσης υποθέτει κίνηση κατά μήκος της ευθείας που ενώνει την πηγή και τον παρατηρητή. Αν η ταχύτητα της πηγής φτάσει την ταχύτητα του ήχου ή την ξεπεράσει, αυτός ο απλός τύπος δεν είναι πλέον το σωστό μοντέλο.

Τύπος του Φαινομένου Doppler για Φως

Για το φως, ο κλασικός τύπος του ήχου δεν ισχύει. Για κίνηση κατά μήκος της ευθείας όρασης, ο σχετικιστικός τύπος Doppler για μια πηγή που απομακρύνεται από τον παρατηρητή είναι

$$f_{\mathrm{obs}} = f \sqrt{\frac{1 - \beta}{1 + \beta}}$$

όπου

$$\beta = \frac{v}{c}$$

και $c$ είναι η ταχύτητα του φωτός στο κενό.

Αν η πηγή κινείται προς τον παρατηρητή πάνω στην ίδια ευθεία, ο παράγοντας αντιστρέφεται:

$$f_{\mathrm{obs}} = f \sqrt{\frac{1 + \beta}{1 - \beta}}$$

Άρα η απομάκρυνση δίνει μικρότερη παρατηρούμενη συχνότητα, κάτι που συχνά λέγεται μετατόπιση προς το ερυθρό, ενώ η προσέγγιση δίνει μεγαλύτερη παρατηρούμενη συχνότητα, κάτι που συχνά λέγεται μετατόπιση προς το μπλε.

Λυμένο Παράδειγμα: Σειρήνα Ασθενοφόρου

Έστω ότι ένα ασθενοφόρο εκπέμπει σειρήνα με συχνότητα $f = 700\ \mathrm{Hz}$ και κινείται προς έναν ακίνητο παρατηρητή με $v_s = 30\ \mathrm{m/s}$. Πάρε την ταχύτητα του ήχου στον αέρα ως $v = 343\ \mathrm{m/s}$, και θεώρησε ότι ο παρατηρητής είναι ακίνητος, άρα $v_o = 0$.

Χρησιμοποίησε τον τύπο του ήχου για κίνηση προς τον παρατηρητή:

$$f_{\mathrm{obs}} = 700 \cdot \frac{343 + 0}{343 - 30}$$ $$f_{\mathrm{obs}} = 700 \cdot \frac{343}{313} \approx 767\ \mathrm{Hz}$$

Άρα ο παρατηρητής ακούει περίπου $767\ \mathrm{Hz}$ καθώς το ασθενοφόρο πλησιάζει.

Αφού το ασθενοφόρο περάσει, απομακρύνεται. Με την ίδια σύμβαση προσήμων,

$$f_{\mathrm{obs}} = 700 \cdot \frac{343}{343 + 30}$$ $$f_{\mathrm{obs}} = 700 \cdot \frac{343}{373} \approx 644\ \mathrm{Hz}$$

Τώρα η σειρήνα ακούγεται πιο χαμηλή. Αυτό το ένα παράδειγμα δείχνει όλο το μοτίβο: η κίνηση προς τον παρατηρητή αυξάνει την παρατηρούμενη συχνότητα, ενώ η απομάκρυνση τη μειώνει.

Συνηθισμένα Λάθη

Χρήση του τύπου του ήχου για το φως

Ο τύπος του ήχου προϋποθέτει ένα μέσο όπως ο αέρας. Το φως δεν χρειάζεται υλικό μέσο με τον ίδιο τρόπο, οπότε η μετατόπισή του λόγω Doppler πρέπει να αντιμετωπίζεται σχετικιστικά.

Να ξεχνάς ότι οι συμβάσεις προσήμων διαφέρουν

Διαφορετικά βιβλία μπορεί να βάζουν τα σύμβολα συν και πλην σε διαφορετικές θέσεις. Ο ασφαλής έλεγχος είναι φυσικός: η κίνηση προσέγγισης πρέπει να αυξάνει την παρατηρούμενη συχνότητα και η κίνηση απομάκρυνσης να τη μειώνει.

Να αγνοείς τον ρόλο του μέσου για τον ήχο

Για τον ήχο, οι ταχύτητες στον τύπο μετρώνται ως προς το μέσο. Αν χρησιμοποιήσεις μόνο τη σχετική ταχύτητα πηγής-παρατηρητή και αγνοήσεις τον αέρα ή άλλο μέσο, μπορεί να βγάλεις λάθος αποτέλεσμα.

Να μπερδεύεις την εκπεμπόμενη συχνότητα με την παρατηρούμενη συχνότητα

Η πηγή εκπέμπει μία συχνότητα. Το φαινόμενο Doppler περιγράφει τι λαμβάνει ένας συγκεκριμένος παρατηρητής όταν υπάρχει σχετική κίνηση.

Να νομίζεις ότι πιο οξύς τόνος σημαίνει ότι άλλαξε η ταχύτητα του κύματος

Στο συνηθισμένο μοντέλο του ήχου, το μέσο εξακολουθεί να καθορίζει την ταχύτητα του κύματος. Η μετατόπιση εμφανίζεται κυρίως ως αλλαγή στην παρατηρούμενη συχνότητα και στο μήκος κύματος.

Πού Χρησιμοποιείται το Φαινόμενο Doppler

Το φαινόμενο Doppler εμφανίζεται στον καθημερινό ήχο, αλλά είναι επίσης σημαντικό στις μετρήσεις ταχύτητας με ραντάρ, στους ιατρικούς υπερήχους και στην αστρονομία.

Στην αστρονομία, η παρατηρούμενη μετατόπιση του φωτός βοηθά τους επιστήμονες να συμπεράνουν κίνηση κατά μήκος της ευθείας όρασης. Αυτό από μόνο του δεν σου λέει τα πάντα για την κίνηση του αντικειμένου, αλλά είναι μια πολύ ισχυρή ένδειξη.

Δοκίμασε Μια Παρόμοια Περίπτωση

Κράτησε τη σειρήνα στα $700\ \mathrm{Hz}$ και άλλαξε την ταχύτητα του ασθενοφόρου σε $20\ \mathrm{m/s}$ ή $40\ \mathrm{m/s}$. Υπολόγισε την παρατηρούμενη συχνότητα πριν και μετά το πέρασμα και μετά έλεγξε αν το μέγεθος της μετατόπισης αλλάζει όπως περιμένεις.

Αν θέλεις ένα χρήσιμο επόμενο βήμα μετά από αυτό, σύγκρινε αυτή την ιδέα με την κυματική εξίσωση. Αυτό κάνει πιο εύκολο να ξεχωρίζεις τη συχνότητα, το μήκος κύματος και την ταχύτητα κύματος.