多普勒效应——声音与光的公式

多普勒效应是指：当波源和观察者沿视线方向发生相对运动时，观察到的频率会发生变化。若二者相互接近，观察频率升高；若二者彼此远离，观察频率降低。

对于声音，这解释了为什么救护车鸣笛在接近时听起来更尖、更高，驶过后则变低。对于光，也有相同的基本现象，表现为蓝移和红移，但公式不同，因为光不能用“空气中声波”的模型来处理。

真正发生变化的是什么

发生偏移的量是观察到的频率。在很多声学问题中，波速由介质决定，而相对运动会改变波峰到达观察者的频率。

因此，把下面三个概念分开会很有帮助：

如果把这些概念混在一起，多普勒效应问题就会变得比实际更难。

对于静止介质中的声音，一个常见的一维形式是

f_{\mathrm{obs}} = f \frac{v + v_o}{v - v_s}

其中：

这个版本采用了特定的符号约定：若两者朝彼此靠近的速度取正，则观察频率会变大。若波源和观察者彼此远离，符号就会改变，观察频率也会变小。

这是一个“介质中声波”的公式，不是适用于所有波的通用公式。它还假设运动方向沿着连接波源与观察者的直线。如果波源速度达到或超过声速，这个简单公式就不再是合适的模型。

对于光，经典的声波公式不适用。若运动沿视线方向，且波源远离观察者，则相对论多普勒公式为

f_{\mathrm{obs}} = f \sqrt{\frac{1 - \beta}{1 + \beta}}

其中

\beta = \frac{v}{c}

而 $c$ 是真空中的光速。

如果波源沿同一直线朝向观察者运动，则因子反过来：

f_{\mathrm{obs}} = f \sqrt{\frac{1 + \beta}{1 - \beta}}

因此，远离会使观察频率降低，这通常称为红移；接近会使观察频率升高，这通常称为蓝移。

设一辆救护车发出频率为 $f = 700\ \mathrm{Hz}$ 的警笛声，并以 $v_s = 30\ \mathrm{m/s}$ 的速度朝一个静止观察者驶来。取空气中的声速为 $v = 343\ \mathrm{m/s}$ ，观察者静止，因此 $v_o = 0$ 。

对“朝向观察者运动”的情况使用声音公式：

f_{\mathrm{obs}} = 700 \cdot \frac{343 + 0}{343 - 30}

f_{\mathrm{obs}} = 700 \cdot \frac{343}{313} \approx 767\ \mathrm{Hz}

因此，在救护车接近时，观察者听到的频率约为 $767\ \mathrm{Hz}$ 。

当救护车驶过之后，它开始远离观察者。在同样的符号约定下，

f_{\mathrm{obs}} = 700 \cdot \frac{343}{343 + 30}

f_{\mathrm{obs}} = 700 \cdot \frac{343}{373} \approx 644\ \mathrm{Hz}

这时警笛声就会变低。这个例子已经展示了完整规律：接近会提高观察频率，远离会降低观察频率。

声音公式默认存在空气这样的介质。光并不以同样的方式依赖物质介质传播，因此它的多普勒频移必须用相对论来处理。

不同教材可能会把正负号放在不同位置。最稳妥的检查方式是看物理意义：接近应使观察频率升高，远离应使其降低。

对于声音，公式中的速度是相对于介质来测量的。如果你只使用波源与观察者之间的相对速度，而忽略空气或其他介质，就可能得到错误结果。

波源发出的是一个频率。多普勒效应描述的是：在存在相对运动时，某个特定观察者实际接收到的频率。

在通常的声波模型中，波速仍由介质决定。发生变化的主要是观察到的频率和波长。

你会在日常声音中遇到多普勒效应，但它在雷达测速、医学超声和天文学中也非常重要。

在天文学中，观测到的光频移可以帮助科学家推断天体沿视线方向的运动。这本身不能告诉你该天体运动的全部信息，但它是一个非常有力的线索。

保持警笛频率为 $700\ \mathrm{Hz}$ ，把救护车速度改成 $20\ \mathrm{m/s}$ 或 $40\ \mathrm{m/s}$ 。分别计算它驶过前后观察到的频率，再检查频移大小是否按你预期那样变化。

如果你想继续学一个很有用的下一步，可以把这个概念与波动方程对比来看。这样更容易把频率、波长和波速区分清楚。

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