Effetto Doppler — Formula per suono e luce

L’effetto Doppler è la variazione della frequenza osservata quando una sorgente e un osservatore si muovono l’uno rispetto all’altro lungo la linea di vista. Se si avvicinano, la frequenza osservata aumenta. Se si allontanano, diminuisce.

Per il suono, questo spiega perché la sirena di un’ambulanza sembra più acuta mentre si avvicina e più grave dopo che è passata. Per la luce, la stessa idea compare come spostamento verso il blu e spostamento verso il rosso, ma la formula è diversa perché la luce non si tratta con il modello del suono nell’aria.

Che cosa cambia davvero

La grandezza che varia è la frequenza osservata. In molti problemi sul suono, la velocità dell’onda è fissata dal mezzo, mentre il moto relativo cambia con quale frequenza i fronti d’onda raggiungono l’osservatore.

Per questo è utile separare tre idee:

• frequenza: quanti cicli arrivano ogni secondo
• lunghezza d’onda: distanza tra i fronti d’onda
• velocità dell’onda: quanto rapidamente la perturbazione si propaga nel mezzo

Se confondi queste tre cose, i problemi sull’effetto Doppler diventano molto più difficili del necessario.

Formula dell’effetto Doppler per il suono

Per il suono in un mezzo stazionario, una forma comune in $1$D è

$$f_{\mathrm{obs}} = f \frac{v + v_o}{v - v_s}$$

dove:

• $f$ è la frequenza emessa
• $f_{\mathrm{obs}}$ è la frequenza osservata
• $v$ è la velocità del suono nel mezzo
• $v_o$ è la velocità dell’osservatore verso la sorgente
• $v_s$ è la velocità della sorgente verso l’osservatore

Questa versione usa una convenzione dei segni specifica: le velocità dirette l’una verso l’altra rendono maggiore la frequenza osservata. Se sorgente e osservatore si allontanano, i segni cambiano e la frequenza osservata diventa minore.

Questa è una formula per il suono in un mezzo, non una formula universale per ogni onda. Inoltre assume un moto lungo la linea che unisce sorgente e osservatore. Se la velocità della sorgente raggiunge o supera la velocità del suono, questa formula semplice non è più il modello corretto.

Formula dell’effetto Doppler per la luce

Per la luce, la formula classica del suono non si applica. Per il moto lungo la linea di vista, la formula Doppler relativistica per una sorgente che si allontana dall’osservatore è

$$f_{\mathrm{obs}} = f \sqrt{\frac{1 - \beta}{1 + \beta}}$$

dove

$$\beta = \frac{v}{c}$$

e $c$ è la velocità della luce nel vuoto.

Se la sorgente si muove verso l’osservatore lungo la stessa linea, il fattore si inverte:

$$f_{\mathrm{obs}} = f \sqrt{\frac{1 + \beta}{1 - \beta}}$$

Quindi il moto di allontanamento dà una frequenza osservata più bassa, spesso chiamata spostamento verso il rosso, mentre il moto di avvicinamento dà una frequenza osservata più alta, spesso chiamata spostamento verso il blu.

Esempio svolto: sirena di un’ambulanza

Supponiamo che un’ambulanza emetta una sirena con frequenza $f = 700\ \mathrm{Hz}$ e si muova verso un osservatore fermo con velocità $v_s = 30\ \mathrm{m/s}$. Prendiamo la velocità del suono nell’aria pari a $v = 343\ \mathrm{m/s}$ e consideriamo l’osservatore in quiete, quindi $v_o = 0$.

Usa la formula del suono per il moto verso l’osservatore:

$$f_{\mathrm{obs}} = 700 \cdot \frac{343 + 0}{343 - 30}$$ $$f_{\mathrm{obs}} = 700 \cdot \frac{343}{313} \approx 767\ \mathrm{Hz}$$

Quindi l’osservatore sente circa $767\ \mathrm{Hz}$ mentre l’ambulanza si avvicina.

Dopo che l’ambulanza è passata, si sta allontanando. Con la stessa convenzione dei segni,

$$f_{\mathrm{obs}} = 700 \cdot \frac{343}{343 + 30}$$ $$f_{\mathrm{obs}} = 700 \cdot \frac{343}{373} \approx 644\ \mathrm{Hz}$$

Ora la sirena sembra più grave. Questo unico esempio mostra tutto l’andamento: il moto di avvicinamento aumenta la frequenza osservata, mentre il moto di allontanamento la diminuisce.

Errori comuni

Usare la formula del suono per la luce

La formula del suono presuppone un mezzo come l’aria. La luce non ha bisogno di un mezzo materiale nello stesso modo, quindi il suo effetto Doppler va trattato in modo relativistico.

Dimenticare che le convenzioni dei segni possono variare

Libri diversi possono mettere i segni più e meno in posizioni diverse. Il controllo più sicuro è fisico: il moto di avvicinamento deve aumentare la frequenza osservata, e il moto di allontanamento deve diminuirla.

Ignorare il ruolo del mezzo per il suono

Per il suono, le velocità nella formula si misurano rispetto al mezzo. Se usi solo la velocità relativa tra sorgente e osservatore e ignori l’aria o un altro mezzo, puoi ottenere un risultato sbagliato.

Confondere frequenza emessa e frequenza osservata

La sorgente emette una certa frequenza. L’effetto Doppler descrive ciò che un particolare osservatore riceve quando c’è moto relativo.

Pensare che un tono più acuto significhi che è cambiata la velocità dell’onda

Nel modello usuale del suono, è comunque il mezzo a fissare la velocità dell’onda. La variazione si manifesta soprattutto come cambiamento della frequenza osservata e della lunghezza d’onda.

Dove si usa l’effetto Doppler

L’effetto Doppler si osserva nei suoni della vita quotidiana, ma è importante anche nelle misure di velocità con radar, nell’ecografia medica e in astronomia.

In astronomia, lo spostamento osservato della luce aiuta gli scienziati a dedurre il moto lungo la linea di vista. Da solo non dice tutto sul moto dell’oggetto, ma è un indizio molto potente.

Prova un caso simile

Mantieni la sirena a $700\ \mathrm{Hz}$ e cambia la velocità dell’ambulanza a $20\ \mathrm{m/s}$ oppure $40\ \mathrm{m/s}$. Calcola la frequenza osservata prima e dopo il passaggio, poi verifica se l’entità della variazione cambia nel modo che ti aspetti.

Se vuoi fare un passo utile dopo questo, confronta questa idea con l’equazione delle onde. Ti aiuterà a tenere ben distinti frequenza, lunghezza d’onda e velocità dell’onda.