Efeito Doppler — Fórmula para Som e Luz

O efeito Doppler é a mudança na frequência observada quando uma fonte e um observador se movem um em relação ao outro ao longo da linha de visada. Se eles se movem um em direção ao outro, a frequência observada aumenta. Se se afastam, ela diminui.

Para o som, isso explica por que a sirene de uma ambulância soa mais aguda quando se aproxima e mais grave depois que passa. Para a luz, a mesma ideia aparece como desvio para o azul e desvio para o vermelho, mas a fórmula é diferente porque a luz não é tratada pelo modelo de som no ar.

O Que Realmente Muda

A grandeza que se desloca é a frequência observada. Em muitos problemas de som, a velocidade da onda é determinada pelo meio, enquanto o movimento relativo muda com que frequência as cristas da onda chegam ao observador.

Por isso, ajuda separar três ideias:

• frequência: quantos ciclos chegam a cada segundo
• comprimento de onda: espaçamento entre as cristas da onda
• velocidade da onda: quão rápido a perturbação se move pelo meio

Se você confundir essas ideias, os problemas de Doppler ficam muito mais difíceis do que precisam ser.

Fórmula do Efeito Doppler Para o Som

Para o som em um meio estacionário, uma forma comum em $1$D é

$$f_{\mathrm{obs}} = f \frac{v + v_o}{v - v_s}$$

onde:

• $f$ é a frequência emitida
• $f_{\mathrm{obs}}$ é a frequência observada
• $v$ é a velocidade do som no meio
• $v_o$ é a velocidade do observador em direção à fonte
• $v_s$ é a velocidade da fonte em direção ao observador

Esta versão usa uma convenção de sinais específica: velocidades contadas uma em direção à outra tornam a frequência observada maior. Se a fonte e o observador se afastam um do outro, os sinais mudam e a frequência observada fica menor.

Esta é uma fórmula para som em um meio, não uma fórmula universal para qualquer onda. Ela também supõe movimento ao longo da linha que liga a fonte ao observador. Se a velocidade da fonte atinge a velocidade do som ou a ultrapassa, esta fórmula simples deixa de ser o modelo correto.

Fórmula do Efeito Doppler Para a Luz

Para a luz, a fórmula clássica do som não se aplica. Para movimento ao longo da linha de visada, a fórmula relativística do Doppler para uma fonte se afastando do observador é

$$f_{\mathrm{obs}} = f \sqrt{\frac{1 - \beta}{1 + \beta}}$$

onde

$$\beta = \frac{v}{c}$$

e $c$ é a velocidade da luz no vácuo.

Se a fonte se move em direção ao observador ao longo da mesma linha, o fator se inverte:

$$f_{\mathrm{obs}} = f \sqrt{\frac{1 + \beta}{1 - \beta}}$$

Assim, movimento de afastamento produz uma frequência observada menor, muitas vezes chamada de desvio para o vermelho, e movimento de aproximação produz uma frequência observada maior, muitas vezes chamada de desvio para o azul.

Exemplo Resolvido: Sirene de Ambulância

Suponha que uma ambulância emita uma sirene em $f = 700\ \mathrm{Hz}$ e se mova em direção a um observador em repouso com $v_s = 30\ \mathrm{m/s}$. Tome a velocidade do som no ar como $v = 343\ \mathrm{m/s}$, e considere o observador em repouso, então $v_o = 0$.

Use a fórmula do som para movimento em direção ao observador:

$$f_{\mathrm{obs}} = 700 \cdot \frac{343 + 0}{343 - 30}$$ $$f_{\mathrm{obs}} = 700 \cdot \frac{343}{313} \approx 767\ \mathrm{Hz}$$

Então o observador ouve cerca de $767\ \mathrm{Hz}$ enquanto a ambulância se aproxima.

Depois que a ambulância passa, ela está se afastando. Na mesma convenção de sinais,

$$f_{\mathrm{obs}} = 700 \cdot \frac{343}{343 + 30}$$ $$f_{\mathrm{obs}} = 700 \cdot \frac{343}{373} \approx 644\ \mathrm{Hz}$$

Agora a sirene soa mais grave. Este único exemplo mostra todo o padrão: movimento de aproximação aumenta a frequência observada, e movimento de afastamento a diminui.

Erros Comuns

Usar a fórmula do som para a luz

A fórmula do som supõe um meio, como o ar. A luz não precisa de um meio material da mesma forma, então seu desvio Doppler deve ser tratado de forma relativística.

Esquecer que as convenções de sinais variam

Livros diferentes podem colocar sinais de mais e menos em posições diferentes. A verificação segura é física: movimento de aproximação deve aumentar a frequência observada, e movimento de afastamento deve diminuí-la.

Ignorar o papel do meio no caso do som

Para o som, as velocidades na fórmula são medidas em relação ao meio. Se você usar apenas a velocidade relativa entre fonte e observador e ignorar o ar ou outro meio, pode obter o resultado errado.

Confundir frequência emitida com frequência observada

A fonte emite uma frequência. O efeito Doppler descreve o que um observador específico recebe quando há movimento relativo.

Pensar que tom mais agudo significa que a velocidade da onda mudou

No modelo usual do som, o meio continua determinando a velocidade da onda. O desvio aparece principalmente como uma mudança na frequência observada e no comprimento de onda.

Onde o Efeito Doppler É Usado

Você vê o efeito Doppler no som do dia a dia, mas ele também é importante em medições de velocidade por radar, ultrassom médico e astronomia.

Na astronomia, o desvio observado na luz ajuda os cientistas a inferir movimento ao longo da linha de visada. Isso, por si só, não diz tudo sobre o movimento do objeto, mas é uma pista poderosa.

Tente Um Caso Parecido

Mantenha a sirene em $700\ \mathrm{Hz}$ e mude a velocidade da ambulância para $20\ \mathrm{m/s}$ ou $40\ \mathrm{m/s}$. Calcule a frequência observada antes e depois da passagem, e depois verifique se o tamanho do desvio muda da forma que você espera.

Se quiser um próximo passo útil depois disso, compare esta ideia com a equação da onda. Isso facilita manter separados frequência, comprimento de onda e velocidade da onda.