Efecto Doppler — Fórmula para sonido y luz

El efecto Doppler es el cambio en la frecuencia observada cuando una fuente y un observador se mueven uno respecto del otro a lo largo de la línea de visión. Si se acercan entre sí, la frecuencia observada aumenta. Si se alejan, disminuye.

En el caso del sonido, esto explica por qué la sirena de una ambulancia se oye más aguda cuando se acerca y más grave después de pasar. Para la luz, la misma idea aparece como corrimiento al azul y corrimiento al rojo, pero la fórmula es distinta porque la luz no se trata con el modelo de sonido en el aire.

Qué cambia realmente

La magnitud que cambia es la frecuencia observada. En muchos problemas de sonido, la rapidez de la onda está fijada por el medio, mientras que el movimiento relativo cambia con qué frecuencia las crestas de onda llegan al observador.

Por eso conviene separar tres ideas:

• frecuencia: cuántos ciclos llegan cada segundo
• longitud de onda: separación entre crestas de onda
• rapidez de la onda: qué tan rápido se propaga la perturbación por el medio

Si confundes estas ideas, los problemas de Doppler se vuelven mucho más difíciles de lo necesario.

Fórmula del efecto Doppler para el sonido

Para el sonido en un medio estacionario, una forma común en $1$D es

$$f_{\mathrm{obs}} = f \frac{v + v_o}{v - v_s}$$

donde:

• $f$ es la frecuencia emitida
• $f_{\mathrm{obs}}$ es la frecuencia observada
• $v$ es la rapidez del sonido en el medio
• $v_o$ es la rapidez del observador hacia la fuente
• $v_s$ es la rapidez de la fuente hacia el observador

Esta versión usa una convención de signos específica: las velocidades contadas una hacia la otra hacen que la frecuencia observada sea mayor. Si la fuente y el observador se alejan entre sí, los signos cambian y la frecuencia observada se hace menor.

Esta es una fórmula para sonido en un medio, no una fórmula universal para cualquier onda. También supone movimiento a lo largo de la línea que une a la fuente y al observador. Si la rapidez de la fuente alcanza la rapidez del sonido o la supera, esta fórmula simple deja de ser el modelo correcto.

Fórmula del efecto Doppler para la luz

Para la luz, la fórmula clásica del sonido no se aplica. Para movimiento a lo largo de la línea de visión, la fórmula Doppler relativista para una fuente que se aleja del observador es

$$f_{\mathrm{obs}} = f \sqrt{\frac{1 - \beta}{1 + \beta}}$$

donde

$$\beta = \frac{v}{c}$$

y $c$ es la rapidez de la luz en el vacío.

Si la fuente se mueve hacia el observador a lo largo de la misma línea, el factor se invierte:

$$f_{\mathrm{obs}} = f \sqrt{\frac{1 + \beta}{1 - \beta}}$$

Así, el movimiento de alejamiento da una frecuencia observada menor, lo que suele llamarse corrimiento al rojo, y el movimiento de acercamiento da una frecuencia observada mayor, lo que suele llamarse corrimiento al azul.

Ejemplo resuelto: sirena de ambulancia

Supón que una ambulancia emite una sirena con $f = 700\ \mathrm{Hz}$ y se mueve hacia un observador en reposo con $v_s = 30\ \mathrm{m/s}$. Toma la rapidez del sonido en el aire como $v = 343\ \mathrm{m/s}$, y deja al observador en reposo, de modo que $v_o = 0$.

Usa la fórmula del sonido para movimiento hacia el observador:

$$f_{\mathrm{obs}} = 700 \cdot \frac{343 + 0}{343 - 30}$$ $$f_{\mathrm{obs}} = 700 \cdot \frac{343}{313} \approx 767\ \mathrm{Hz}$$

Así, el observador oye aproximadamente $767\ \mathrm{Hz}$ mientras la ambulancia se acerca.

Después de que la ambulancia pasa, se está alejando. Con la misma convención de signos,

$$f_{\mathrm{obs}} = 700 \cdot \frac{343}{343 + 30}$$ $$f_{\mathrm{obs}} = 700 \cdot \frac{343}{373} \approx 644\ \mathrm{Hz}$$

Ahora la sirena suena más grave. Este único ejemplo muestra todo el patrón: el movimiento de acercamiento aumenta la frecuencia observada, y el movimiento de alejamiento la disminuye.

Errores comunes

Usar la fórmula del sonido para la luz

La fórmula del sonido supone un medio como el aire. La luz no necesita un medio material de la misma manera, así que su corrimiento Doppler debe tratarse de forma relativista.

Olvidar que las convenciones de signos varían

Distintos libros pueden colocar los signos más y menos en posiciones diferentes. La comprobación segura es física: el movimiento de acercamiento debe aumentar la frecuencia observada, y el de alejamiento debe disminuirla.

Ignorar el papel del medio en el sonido

Para el sonido, las velocidades de la fórmula se miden respecto del medio. Si usas solo la rapidez relativa entre fuente y observador e ignoras el aire u otro medio, puedes obtener un resultado incorrecto.

Confundir frecuencia emitida con frecuencia observada

La fuente emite una frecuencia. El efecto Doppler describe lo que recibe un observador concreto cuando hay movimiento relativo.

Pensar que un tono más agudo significa que cambió la rapidez de la onda

En el modelo usual del sonido, el medio sigue fijando la rapidez de la onda. El cambio aparece principalmente como una variación en la frecuencia observada y en la longitud de onda.

Dónde se usa el efecto Doppler

Ves el efecto Doppler en sonidos cotidianos, pero también es importante en mediciones de velocidad por radar, ultrasonido médico y astronomía.

En astronomía, el cambio observado en la luz ayuda a los científicos a inferir movimiento a lo largo de la línea de visión. Eso no te dice por sí solo todo sobre el movimiento del objeto, pero sí es una pista muy poderosa.

Prueba un caso parecido

Mantén la sirena en $700\ \mathrm{Hz}$ y cambia la rapidez de la ambulancia a $20\ \mathrm{m/s}$ o $40\ \mathrm{m/s}$. Calcula la frecuencia observada antes y después de que pase, y luego comprueba si el tamaño del cambio varía como esperas.

Si quieres un siguiente paso útil después de eso, compara esta idea con la ecuación de onda. Eso hace más fácil mantener separadas la frecuencia, la longitud de onda y la rapidez de la onda.