Divergence et rotationnel

La divergence et le rotationnel décrivent deux propriétés locales différentes d’un champ de vecteurs. La divergence mesure si le champ s’étale ou se resserre près d’un point, tandis que le rotationnel mesure s’il tend à faire tourner un petit objet.

Si vous devez retenir une seule différence, retenez celle-ci : la divergence concerne le flux local sortant, et le rotationnel concerne la rotation locale.

La divergence mesure le flux local sortant ou entrant

Pour un champ de vecteurs 3D

$$\mathbf{F} = (P, Q, R),$$

la divergence vaut

$$\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}.$$

On additionne ici le taux de variation de chaque composante dans sa propre direction. Si le résultat est positif en un point, le champ se comporte localement davantage comme un flux sortant à cet endroit. S’il est négatif, le champ se comporte localement davantage comme un flux entrant.

Cette image de flux est surtout utile lorsque le champ de vecteurs est différentiable au voisinage du point et représente réellement quelque chose comme une vitesse.

Le rotationnel mesure la rotation locale

Pour le même champ 3D, le rotationnel est

$$\nabla \times \mathbf{F} = \left( \frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z}, \frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x}, \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right).$$

Le rotationnel mesure la rotation locale. Un rotationnel non nul signifie que le champ a tendance à faire tourner une minuscule roue à aubes.

Dans un champ 2D $\mathbf{F} = (P, Q)$, beaucoup de cours utilisent

$$\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}$$

comme « le rotationnel ». À strictement parler, c’est la composante selon $z$ du rotationnel 3D lorsque le champ est contenu dans le plan.

Divergence et rotationnel : un exemple détaillé

La comparaison la plus claire consiste à placer côte à côte un champ de pure dispersion et un champ de pure rotation.

Considérons d’abord

$$\mathbf{F}(x,y) = (x,y).$$

Ce champ pointe à l’opposé de l’origine, et les flèches deviennent plus longues à mesure qu’on s’éloigne. Sa divergence vaut

$$\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial x}{\partial x} + \frac{\partial y}{\partial y} = 1 + 1 = 2.$$

Sa valeur de rotationnel en 2D est

$$\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial y}{\partial x} - \frac{\partial x}{\partial y} = 0 - 0 = 0.$$

Donc ce champ a une divergence positive et aucun rotationnel. Il se comporte comme une pure dispersion locale sans rotation.

Comparons maintenant avec

$$\mathbf{G}(x,y) = (-y,x).$$

Ce champ tourne autour de l’origine. Sa divergence vaut

$$\nabla \cdot \mathbf{G} = \frac{\partial (-y)}{\partial x} + \frac{\partial x}{\partial y} = 0 + 0 = 0.$$

Sa valeur de rotationnel en 2D est

$$\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial x}{\partial x} - \frac{\partial (-y)}{\partial y} = 1 - (-1) = 2.$$

Donc ce champ a une divergence nulle mais un rotationnel non nul. Il se comporte comme une rotation locale sans dispersion nette.

Voilà le contraste principal :

$$\mathbf{F}(x,y) = (x,y) \quad \text{s’étale,}$$

tandis que

$$\mathbf{G}(x,y) = (-y,x) \quad \text{tourbillonne.}$$

Si un exercice demande ce que détecte chaque quantité, cet exemple donne déjà la réponse : la divergence repère le premier champ, et le rotationnel repère le second.

Erreurs fréquentes avec la divergence et le rotationnel

1. Traiter la divergence et le rotationnel comme le même type de mesure. Ils répondent à des questions différentes.
2. Oublier qu’en 2D, le rotationnel est souvent présenté comme un raccourci scalaire, et non comme le vecteur 3D complet.
3. Supposer qu’une divergence positive signifie que les vecteurs sont grands. La divergence dépend de la façon dont le champ varie, pas seulement de la longueur des flèches.
4. Supposer qu’une divergence nulle signifie que le champ est nul. Un champ peut être non nul partout et avoir pourtant une divergence nulle.
5. Utiliser l’interprétation en termes de flux sans vérifier le modèle. « Source », « puits » et « rotation » sont des intuitions physiques, pas des faits automatiques dans tous les contextes.

Où la divergence et le rotationnel sont utilisés

La divergence et le rotationnel apparaissent en calcul vectoriel, en mécanique des fluides et en électromagnétisme, car ils séparent deux comportements locaux utiles : l’expansion et la rotation.

Dans les modèles de fluides, la divergence peut décrire la compression ou l’expansion locale de l’écoulement, tandis que le rotationnel peut décrire une rotation locale. En électromagnétisme, les deux apparaissent dans les équations de Maxwell, où ils relient le comportement du champ à la charge, au courant et aux champs variables.

Plus largement, ils vous aident à lire un champ de vecteurs au lieu de simplement tracer des flèches.

Une image mentale rapide qui aide souvent

Imaginez que vous placez deux petits outils dans un champ :

1. Un minuscule ballon teste si le champ tend à se dilater ou à se comprimer autour d’un point. C’est l’idée de divergence.
2. Une minuscule roue à aubes teste si le champ tend à la faire tourner. C’est l’idée de rotationnel.

Ce sont des images, pas des définitions, mais elles sont utiles lorsque le champ est régulier et représente quelque chose qui ressemble à un écoulement.

Essayez un exercice similaire

Prenez le champ

$$\mathbf{H}(x,y) = (2x,-2y).$$

Calculez sa divergence et sa valeur de rotationnel en 2D. Décidez ensuite si le champ se comporte davantage comme une dispersion locale, une rotation locale, les deux, ou ni l’un ni l’autre.

Si vous voulez une vérification supplémentaire, essayez $\mathbf{K}(x,y) = (x,-x)$ et voyez si la divergence, le rotationnel, ou les deux changent.