Intégrale double

Une intégrale double additionne une fonction sur une région bidimensionnelle. Si $f(x,y) \ge 0$, elle donne le volume sous $z=f(x,y)$ au-dessus de cette région. Si $f$ change de signe, elle donne à la place un volume algébrique net.

On l’écrit généralement sous la forme

$$\iint_R f(x,y)\,dA$$

où $R$ est la région dans le plan $xy$ et $dA$ est un petit élément d’aire. En pratique, la plupart des premiers exercices sur les intégrales doubles portent sur deux points : bien lire la région et choisir des bornes qui lui correspondent réellement.

Ce que signifie une intégrale double

Il y a trois éléments à lire :

• $f(x,y)$ est la fonction que l’on additionne.
• $R$ est la région sur laquelle on l’additionne.
• $dA$ désigne un petit élément d’aire.

Ainsi, $\iint_R f(x,y)\,dA$ signifie « additionner les valeurs de $f$ sur tous les petits éléments d’aire de $R$ ». Si $f(x,y)=1$, le résultat est simplement l’aire de $R$. C’est une vérification utile, car elle montre que les intégrales doubles mesurent une accumulation sur une aire, et pas seulement un volume sous une surface courbe.

Pourquoi une intégrale double devient souvent une intégrale itérée

Dans beaucoup de problèmes de calcul, on calcule une intégrale double en la transformant en deux intégrales simples. Sur un rectangle, et plus généralement sous des hypothèses standard comme la continuité sur la région, on peut intégrer une variable à la fois.

Pour un rectangle $R = [a,b] \times [c,d]$,

$$\iint_R f(x,y)\,dA = \int_a^b \int_c^d f(x,y)\,dy\,dx$$

ou, si c’est plus simple,

$$\iint_R f(x,y)\,dA = \int_c^d \int_a^b f(x,y)\,dx\,dy.$$

L’ordre compte pour la mise en place et la simplicité du calcul. Dans les conditions habituelles du cours, les deux intégrales itérées représentent la même quantité, mais un ordre est souvent bien plus facile à évaluer.

Pour une intégrale simple, on peut imaginer découper un intervalle en petites largeurs $dx$. Pour une intégrale double, on découpe une région en petits rectangles d’aire $dA$.

Chaque petit rectangle contribue approximativement

$$f(x,y)\,dA.$$

En additionnant ces contributions sur toute la région, on obtient l’accumulation totale.

Exemple d’intégrale double sur un rectangle

Calculer

$$\iint_R (x+2y)\,dA$$

où

$$R = \{(x,y) : 0 \le x \le 2,\ 1 \le y \le 3\}.$$

Cette région est un rectangle, donc une intégrale itérée se met en place facilement :

$$\iint_R (x+2y)\,dA = \int_0^2 \int_1^3 (x+2y)\,dy\,dx.$$

Intégrons d’abord par rapport à $y$. Pendant cette étape, on considère $x$ comme une constante :

$$\int_1^3 (x+2y)\,dy = \left[xy + y^2\right]_1^3 = (3x+9)-(x+1) = 2x+8.$$

Intégrons maintenant l’expression extérieure par rapport à $x$ :

$$\int_0^2 (2x+8)\,dx = \left[x^2+8x\right]_0^2 = 4+16 = 20.$$

Donc

$$\iint_R (x+2y)\,dA = 20.$$

Cela a du sens, car $x+2y$ est positif partout sur $R$, donc l’accumulation totale doit aussi être positive.

Ce qui change lorsque la région n’est pas un rectangle

Si la région n’est pas un rectangle, les bornes dépendent souvent de l’autre variable. Par exemple, on peut rencontrer une région décrite par des courbes comme

$$0 \le x \le 1, \quad x^2 \le y \le x+1.$$

Alors les bornes intérieures ne sont plus des constantes. Elles varient avec $x$.

C’est pour cela qu’il est important d’esquisser la région. Dans beaucoup de copies d’étudiants, les calculs algébriques sont corrects, mais la région est fausse.

Erreurs fréquentes avec les intégrales doubles

1. Utiliser des bornes qui ne correspondent pas à la région voulue.
2. Oublier quelle variable est intégrée en premier. Dans $\int_a^b \int_c^d f(x,y)\,dy\,dx$, l’intégrale intérieure est par rapport à $y$.
3. Traiter les deux variables comme actives pendant l’étape intérieure. La variable extérieure doit y être considérée comme une constante.
4. Supposer que le résultat est un volume géométrique même lorsque la fonction prend des valeurs négatives. Dans ce cas, l’intégrale double donne un volume algébrique.
5. Changer l’ordre d’intégration sans modifier correctement les bornes.

Où les intégrales doubles sont utilisées

Les intégrales doubles apparaissent chaque fois qu’une grandeur est répartie sur une aire plutôt que le long d’une ligne.

• En géométrie, elles donnent une aire ou un volume sous une surface.
• En physique, elles peuvent additionner une masse sur une lame lorsque la densité dépend de la position.
• En probabilités, elles apparaissent dans les lois conjointes continues de deux variables.
• En ingénierie, elles sont utilisées lorsqu’une grandeur varie sur une surface ou une section.

L’interprétation dépend de la fonction. Si l’intégrande est une densité, le résultat est une masse. Si l’intégrande est une hauteur, le résultat est un volume algébrique.

Essayez un problème similaire

Essayez votre propre version en remplaçant l’exemple par

$$\iint_R (2x+y)\,dA$$

sur le même rectangle $0 \le x \le 2$, $1 \le y \le 3$. Inversez ensuite l’ordre d’intégration et vérifiez que la valeur reste la même. Si vous voulez aller un peu plus loin, essayez un problème similaire sur une région triangulaire afin que les bornes dépendent de l’autre variable.