Arbres de probabilités — comment les tracer et calculer

Un arbre de probabilités est une représentation d’un processus aléatoire qui se déroule en plusieurs étapes. On trace une branche pour chaque issue possible, on indique la probabilité sur chaque branche, on multiplie le long d’un chemin complet, puis on additionne les chemins favorables différents quand l’événement peut se produire de plusieurs façons.

Il est surtout utile lorsque les probabilités des étapes suivantes dépendent des résultats précédents. Dans ce cas, les probabilités sur les branches suivantes peuvent changer d’un chemin à l’autre, et l’arbre permet de garder ces conditions bien visibles.

Ce que montrent les arbres de probabilités

Un arbre de probabilités part d’un point et se ramifie vers l’extérieur. Les premières branches montrent la première étape de l’expérience, et les branches suivantes montrent ce qui peut arriver après chaque issue précédente.

Chaque chemin complet représente un scénario entier. Si un problème avec une urne comporte deux tirages, alors un chemin comme $RB$ signifie « rouge d’abord, puis bleu ».

Deux règles suffisent pour faire presque tous les calculs :

$$P(A \text{ then } B) = P(A)P(B \mid A)$$

Utilisez cette règle pour un chemin complet. Si la deuxième étape ne dépend pas de la première, alors $P(B \mid A) = P(B)$, donc la multiplication est plus simple.

Si l’événement peut se produire par plus d’un chemin favorable, additionnez les probabilités de ces chemins.

Comment tracer un arbre de probabilités

Commencez par nommer clairement les étapes. Par exemple, vous pouvez avoir un premier tirage et un second tirage, ou un premier lancer et un second lancer.

À partir de chaque nœud, tracez toutes les issues possibles pour cette étape et indiquez sur chaque branche la probabilité qui s’applique à ce nœud. C’est la partie que les élèves font souvent trop vite. Si l’énoncé dit « sans remise » ou donne des informations supplémentaires, les probabilités des branches suivantes peuvent changer.

Une vérification rapide permet de repérer beaucoup d’erreurs : les branches qui partent du même nœud doivent avoir une somme égale à $1$. Si ce n’est pas le cas, l’arbre est incomplet ou l’une des probabilités est fausse.

Quand multiplier et quand additionner

Multipliez lorsque vous restez sur un seul chemin et que vous voulez la probabilité que plusieurs événements se produisent successivement.

Additionnez lorsque l’événement final peut se produire par différents chemins complets. Par exemple, « exactement une rouge et une bleue » peut se produire comme $RB$ ou $BR$, donc vous calculez d’abord chaque chemin puis vous les additionnez.

Exemple d’arbre de probabilités : deux tirages sans remise

Supposons qu’une urne contienne $2$ boules rouges et $1$ boule bleue. Vous tirez une boule, vous ne la remettez pas, puis vous en tirez une seconde. Quelle est la probabilité d’obtenir exactement une rouge et une bleue ?

Commencez l’arbre avec le premier tirage :

• Rouge au premier tirage : $P(R) = \frac{2}{3}$
• Bleue au premier tirage : $P(B) = \frac{1}{3}$

Mettez maintenant à jour les probabilités du second tirage sur chaque branche.

Si la première boule est rouge, il reste $1$ rouge et $1$ bleue dans l’urne, donc :

• $P(R \mid R) = \frac{1}{2}$
• $P(B \mid R) = \frac{1}{2}$

Si la première boule est bleue, il reste $2$ rouges et $0$ bleue dans l’urne, donc :

• $P(R \mid B) = 1$
• $P(B \mid B) = 0$

Multipliez maintenant le long de chaque chemin complet :

$$P(RR) = \frac{2}{3}\cdot\frac{1}{2} = \frac{1}{3}$$ $$P(RB) = \frac{2}{3}\cdot\frac{1}{2} = \frac{1}{3}$$ $$P(BR) = \frac{1}{3}\cdot 1 = \frac{1}{3}$$ $$P(BB) = \frac{1}{3}\cdot 0 = 0$$

« Exactement une rouge et une bleue » se produit sur deux chemins différents : $RB$ ou $BR$. Additionnez les probabilités de ces deux chemins :

$$P(\text{exactly one red and one blue}) = P(RB) + P(BR) = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$$

C’est la raison principale pour laquelle les arbres de probabilités sont si utiles. Les probabilités du second tirage ne sont pas fixes : elles dépendent du premier tirage, et l’arbre rend cette dépendance facile à voir.

Erreurs fréquentes avec les arbres de probabilités

Oublier de mettre à jour les probabilités suivantes

Si l’expérience est sans remise, ou si vous apprenez une nouvelle information après la première étape, les probabilités suivantes peuvent changer. Réutiliser la probabilité de départ sur chaque branche donne un arbre faux.

Additionner quand il faut multiplier

Le long d’un seul chemin, vous cherchez la probabilité que plusieurs choses se produisent successivement, donc vous multipliez.

Multiplier quand il faut additionner

Si un événement peut se produire par plus d’un chemin favorable, comme $RB$ ou $BR$, calculez chaque chemin puis additionnez-les.

Oublier une branche impossible

Parfois, une branche a une probabilité égale à $0$. Elle reste importante, car elle montre que l’issue ne peut pas se produire à partir de ce point.

Quand utilise-t-on les arbres de probabilités ?

Les arbres de probabilités sont courants en probabilités de base, dans les problèmes de cartes et de tirages de boules, dans les tests médicaux à plusieurs étapes, et dans toute situation où les événements se produisent dans un certain ordre.

Ils constituent aussi une bonne transition vers les probabilités conditionnelles. Même si vous passez ensuite aux formules, l’arbre est souvent le moyen le plus rapide de voir d’abord la structure du problème.

Essayez votre propre version

Essayez un problème similaire avec une urne qui contient $3$ boules vertes et $2$ boules jaunes. Tirez deux boules sans remise et trouvez la probabilité que les deux boules soient de la même couleur.

Si vous voulez aller plus loin ensuite, essayez votre propre version dans GPAI Solver et comparez votre arbre avec une solution détaillée étape par étape.