Diagrammi ad albero della probabilità — come disegnarli e calcolarli

Un diagramma ad albero della probabilità è una rappresentazione grafica di un processo casuale che avviene in più fasi. Si disegna un ramo per ogni possibile esito, si indica su ciascun ramo la sua probabilità, si moltiplica lungo un percorso completo e si sommano i diversi percorsi favorevoli quando l’evento può verificarsi in più di un modo.

È particolarmente utile quando le probabilità successive dipendono dai risultati precedenti. In questo caso, le probabilità sui rami successivi possono cambiare da un percorso all’altro, quindi l’albero aiuta a mantenere visibili le condizioni.

Cosa mostrano i diagrammi ad albero della probabilità

Un albero di probabilità parte da un punto e si ramifica verso l’esterno. I primi rami mostrano la prima fase dell’esperimento, e i rami successivi mostrano cosa può accadere dopo ciascun esito precedente.

Ogni percorso completo rappresenta uno scenario completo. Se un problema con un sacchetto prevede due estrazioni, allora un percorso come $RB$ significa "rosso prima, poi blu".

Due regole coprono quasi tutti i calcoli:

$$P(A \text{ then } B) = P(A)P(B \mid A)$$

Usa questa regola per un percorso completo. Se la seconda fase non dipende dalla prima, allora $P(B \mid A) = P(B)$, quindi la moltiplicazione è più semplice.

Se l’evento può verificarsi attraverso più di un percorso favorevole, somma le probabilità di quei percorsi.

Come disegnare un diagramma ad albero della probabilità

Inizia nominando chiaramente le fasi. Per esempio, potresti avere una prima estrazione e una seconda estrazione, oppure un primo lancio e un secondo lancio.

Da ogni nodo, disegna ogni possibile esito per quella fase e indica su ciascun ramo la probabilità corretta per quel nodo. Questa è la parte che gli studenti spesso fanno troppo in fretta. Se il testo dice "senza reinserimento" o fornisce informazioni aggiuntive, le probabilità dei rami successivi possono cambiare.

Un controllo rapido permette di individuare molti errori: i rami che partono dallo stesso nodo devono sommare a $1$. Se non lo fanno, l’albero è incompleto oppure una delle probabilità è sbagliata.

Quando moltiplicare e quando sommare

Moltiplica quando resti su un solo percorso e vuoi la probabilità che più eventi accadano in sequenza.

Somma quando l’evento finale può verificarsi attraverso percorsi completi diversi. Per esempio, "esattamente una rossa e una blu" può accadere come $RB$ oppure $BR$, quindi calcoli prima ogni percorso e poi li sommi.

Esempio di diagramma ad albero della probabilità: due estrazioni senza reinserimento

Supponiamo che un sacchetto contenga $2$ palline rosse e $1$ pallina blu. Estrai una pallina, non la rimetti nel sacchetto, e poi ne estrai una seconda. Qual è la probabilità di ottenere esattamente una rossa e una blu?

Inizia l’albero con la prima estrazione:

• Rossa alla prima estrazione: $P(R) = \frac{2}{3}$
• Blu alla prima estrazione: $P(B) = \frac{1}{3}$

Ora aggiorna le probabilità della seconda estrazione su ciascun ramo.

Se la prima pallina è rossa, nel sacchetto restano $1$ rossa e $1$ blu, quindi:

• $P(R \mid R) = \frac{1}{2}$
• $P(B \mid R) = \frac{1}{2}$

Se la prima pallina è blu, nel sacchetto restano $2$ rosse e $0$ blu, quindi:

• $P(R \mid B) = 1$
• $P(B \mid B) = 0$

Ora moltiplica lungo ciascun percorso completo:

$$P(RR) = \frac{2}{3}\cdot\frac{1}{2} = \frac{1}{3}$$ $$P(RB) = \frac{2}{3}\cdot\frac{1}{2} = \frac{1}{3}$$ $$P(BR) = \frac{1}{3}\cdot 1 = \frac{1}{3}$$ $$P(BB) = \frac{1}{3}\cdot 0 = 0$$

"Esattamente una rossa e una blu" si verifica in due percorsi diversi: $RB$ oppure $BR$. Somma le probabilità di questi due percorsi:

$$P(\text{exactly one red and one blue}) = P(RB) + P(BR) = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$$

Questo è il motivo principale per cui i diagrammi ad albero sono così utili. Le probabilità della seconda estrazione non sono fisse: dipendono dalla prima estrazione, e l’albero rende questa dipendenza facile da vedere.

Errori comuni con gli alberi di probabilità

Dimenticare di aggiornare le probabilità successive

Se l’esperimento è senza reinserimento, oppure se ottieni nuove informazioni dopo la prima fase, le probabilità successive possono cambiare. Riutilizzare la probabilità iniziale su ogni ramo porta a un albero sbagliato.

Sommare quando dovresti moltiplicare

Lungo un singolo percorso, stai trovando la probabilità che più cose accadano in sequenza, quindi devi moltiplicare.

Moltiplicare quando dovresti sommare

Se un evento può verificarsi attraverso più di un percorso favorevole, come $RB$ oppure $BR$, calcola ogni percorso e poi somma i risultati.

Omettere un ramo impossibile

A volte un ramo ha probabilità $0$. Conta comunque, perché mostra che l’esito non può verificarsi a partire da quel punto.

Quando si usano i diagrammi ad albero della probabilità

I diagrammi ad albero sono comuni nella probabilità di base, nei problemi con carte e palline estratte, nei test medici con esiti in più fasi e in qualsiasi situazione in cui gli eventi avvengono in ordine.

Sono anche un ottimo passaggio verso la probabilità condizionata. Anche se in seguito passi alle formule, l’albero è spesso il modo più rapido per vedere prima la struttura del problema.

Prova una tua versione

Prova un problema simile con un sacchetto che contiene $3$ palline verdi e $2$ palline gialle. Estrai due palline senza reinserimento e trova la probabilità che entrambe le palline siano dello stesso colore.

Se vuoi fare un passo in più, prova la tua versione in GPAI Solver e confronta il tuo albero con una soluzione passo dopo passo.