概率树状图——如何绘制与计算

概率树状图是把一个分阶段发生的随机过程画成图形的方法。你需要为每一种可能结果画出一条分支，在每条分支上标出对应概率，沿着一条完整路径把概率相乘；如果某个事件可以通过多条成功路径发生，就把这些路径的概率相加。

当后面的概率取决于前面的结果时，它尤其有用。在这种情况下，后续分支上的概率会随着路径不同而变化，所以树状图能帮助你清楚地看出这些条件。

概率树状图展示什么

概率树从一个起点开始，向外分叉。第一层分支表示实验的第一阶段，下一层分支表示在前一个结果发生后，接下来可能出现的情况。

每一条完整路径都表示一个完整情形。如果一个袋子问题有两次抽取，那么像 $RB$ 这样的路径就表示“先红后蓝”。

有两条规则几乎涵盖了全部计算：

P(A \text{ then } B) = P(A)P(B \mid A)

这条规则用于一条完整路径。如果第二阶段不依赖第一阶段，那么 $P(B \mid A) = P(B)$ ，乘法就更简单。

如果一个事件可以通过多条成功路径发生，就把这些路径的概率加起来。

先把各个阶段明确写出来。比如，可能是第一次抽取和第二次抽取，或者第一次抛掷和第二次抛掷。

从每个节点出发，把该阶段所有可能结果都画成分支，并在每条分支上标出该节点下适用的概率。这一步学生很容易做得太快。如果题目说明“无放回”，或者给了额外信息，那么后续分支的概率就可能改变。

有一个快速检查方法能发现很多错误：从同一个节点发出的所有分支概率之和应该等于 $1$ 。如果不等于，说明树状图不完整，或者某个概率写错了。

当你沿着一条路径，要求几个事件按顺序连续发生的概率时，用乘法。

当最终事件可以通过不同的完整路径发生时，用加法。比如，“恰好一个红球和一个蓝球”可以是 $RB$ ，也可以是 $BR$ ，所以要先分别计算每条路径，再把它们相加。

假设一个袋子里有 $2$ 个红球和 $1$ 个蓝球。你先抽一个球，不放回，再抽第二个球。恰好抽到一个红球和一个蓝球的概率是多少？

先从第一次抽取开始画树：

现在更新每条分支上第二次抽取的概率。

如果第一个球是红球，袋子里还剩 $1$ 个红球和 $1$ 个蓝球，所以：

如果第一个球是蓝球，袋子里还剩 $2$ 个红球和 $0$ 个蓝球，所以：

现在沿着每条完整路径相乘：

P(RR) = \frac{2}{3}\cdot\frac{1}{2} = \frac{1}{3}

P(RB) = \frac{2}{3}\cdot\frac{1}{2} = \frac{1}{3}

P(BR) = \frac{1}{3}\cdot 1 = \frac{1}{3}

P(BB) = \frac{1}{3}\cdot 0 = 0

“恰好一个红球和一个蓝球”会通过两条不同路径发生： $RB$ 或 $BR$ 。把这两条路径的概率相加：

P(\text{exactly one red and one blue}) = P(RB) + P(BR) = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{2}{3}

这正是树状图特别有帮助的主要原因。第二次抽取的概率不是固定不变的；它取决于第一次抽取的结果，而树状图能让这种依赖关系一目了然。

如果实验是无放回的，或者你在第一阶段之后获得了新信息，那么下一步的概率可能会改变。如果每条分支都重复使用最初的概率，画出的树就会是错的。

沿着单一路径时，你求的是几个事件按顺序连续发生的概率，所以应该相乘。

如果一个事件可以通过多条成功路径发生，比如 $RB$ 或 $BR$ ，就要先算出每条路径的概率，再把它们相加。

有时候某条分支的概率是 $0$ 。它仍然很重要，因为它表明从那个节点开始，这个结果不可能发生。

树状图常见于基础概率、抽牌和摸球问题、分阶段结果的医学检测，以及任何按顺序发生事件的情境。

它也是学习条件概率的很好过渡。即使你之后改用公式，树状图通常仍然是先看清题目结构的最快方法。

试着做一道类似的题：一个袋子里有 $3$ 个绿球和 $2$ 个黄球。无放回地抽两次，求两个球颜色相同的概率。

如果你想继续练习下一步，可以在 GPAI Solver 里试试你自己的版本，并把你的树状图和分步解答进行比较。

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