Diagramy drzewkowe prawdopodobieństwa — jak rysować i obliczać

Diagram drzewkowy prawdopodobieństwa to graficzne przedstawienie procesu losowego, który przebiega etapami. Rysujesz jedną gałąź dla każdego możliwego wyniku, oznaczasz każdą gałąź jej prawdopodobieństwem, mnożysz wzdłuż całej ścieżki i dodajesz różne korzystne ścieżki, gdy dane zdarzenie może zajść na więcej niż jeden sposób.

Jest najbardziej przydatny wtedy, gdy późniejsze prawdopodobieństwa zależą od wcześniejszych wyników. W takim przypadku prawdopodobieństwa na dalszych gałęziach mogą się zmieniać w zależności od ścieżki, więc drzewko pomaga zachować widoczne warunki.

Co pokazują diagramy drzewkowe prawdopodobieństwa

Drzewko prawdopodobieństwa zaczyna się w jednym punkcie i rozgałęzia się na zewnątrz. Pierwsze gałęzie pokazują pierwszy etap doświadczenia, a kolejne gałęzie pokazują, co może się wydarzyć po każdym wcześniejszym wyniku.

Każda pełna ścieżka reprezentuje jeden kompletny scenariusz. Jeśli zadanie z kulami obejmuje dwa losowania, to ścieżka taka jak $RB$ oznacza „najpierw czerwona, potem niebieska”.

Dwie reguły wykonują prawie całe obliczenie:

$$P(A \text{ then } B) = P(A)P(B \mid A)$$

Użyj tej reguły dla jednej pełnej ścieżki. Jeśli drugi etap nie zależy od pierwszego, wtedy $P(B \mid A) = P(B)$, więc mnożenie jest prostsze.

Jeśli zdarzenie może zajść przez więcej niż jedną korzystną ścieżkę, dodaj prawdopodobieństwa tych ścieżek.

Jak narysować diagram drzewkowy prawdopodobieństwa

Zacznij od jasnego nazwania etapów. Na przykład możesz mieć pierwsze losowanie i drugie losowanie albo pierwszy rzut i drugi rzut.

Z każdego węzła narysuj każdy możliwy wynik dla tego etapu i oznacz każdą gałąź prawdopodobieństwem, które obowiązuje w tym węźle. To jest część, którą uczniowie często robią zbyt szybko. Jeśli w treści jest „bez zwracania” albo podano dodatkowe informacje, prawdopodobieństwa na późniejszych gałęziach mogą się zmienić.

Jedno szybkie sprawdzenie pozwala wychwycić wiele błędów: gałęzie wychodzące z tego samego węzła powinny sumować się do $1$. Jeśli tak nie jest, drzewko jest niepełne albo jedno z prawdopodobieństw jest błędne.

Kiedy mnożyć, a kiedy dodawać

Mnożysz wtedy, gdy pozostajesz na jednej ścieżce i chcesz obliczyć prawdopodobieństwo, że kilka zdarzeń zajdzie kolejno.

Dodajesz wtedy, gdy zdarzenie końcowe może zajść przez różne pełne ścieżki. Na przykład „dokładnie jedna czerwona i jedna niebieska” może zajść jako $RB$ albo $BR$, więc najpierw obliczasz każdą ścieżkę, a potem je dodajesz.

Przykład diagramu drzewkowego prawdopodobieństwa: dwa losowania bez zwracania

Załóżmy, że w worku są $2$ czerwone kule i $1$ niebieska kula. Losujesz jedną kulę, nie odkładasz jej, a następnie losujesz drugą. Jakie jest prawdopodobieństwo otrzymania dokładnie jednej czerwonej i jednej niebieskiej?

Zacznij drzewko od pierwszego losowania:

• Czerwona w pierwszym losowaniu: $P(R) = \frac{2}{3}$
• Niebieska w pierwszym losowaniu: $P(B) = \frac{1}{3}$

Teraz zaktualizuj prawdopodobieństwa drugiego losowania na każdej gałęzi.

Jeśli pierwsza kula jest czerwona, w worku zostaje $1$ czerwona i $1$ niebieska, więc:

• $P(R \mid R) = \frac{1}{2}$
• $P(B \mid R) = \frac{1}{2}$

Jeśli pierwsza kula jest niebieska, w worku zostają $2$ czerwone i $0$ niebieskich, więc:

• $P(R \mid B) = 1$
• $P(B \mid B) = 0$

Teraz pomnóż wzdłuż każdej pełnej ścieżki:

$$P(RR) = \frac{2}{3}\cdot\frac{1}{2} = \frac{1}{3}$$ $$P(RB) = \frac{2}{3}\cdot\frac{1}{2} = \frac{1}{3}$$ $$P(BR) = \frac{1}{3}\cdot 1 = \frac{1}{3}$$ $$P(BB) = \frac{1}{3}\cdot 0 = 0$$

„Dokładnie jedna czerwona i jedna niebieska” zachodzi w dwóch różnych ścieżkach: $RB$ albo $BR$. Dodaj te dwa prawdopodobieństwa ścieżek:

$$P(\text{exactly one red and one blue}) = P(RB) + P(BR) = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$$

To jest główny powód, dla którego diagramy drzewkowe są tak pomocne. Prawdopodobieństwa drugiego losowania nie są stałe; zależą od pierwszego losowania, a drzewko sprawia, że tę zależność łatwo zauważyć.

Typowe błędy w diagramach drzewkowych prawdopodobieństwa

Zapominanie o aktualizacji późniejszych prawdopodobieństw

Jeśli doświadczenie odbywa się bez zwracania albo po pierwszym etapie poznajesz nową informację, kolejne prawdopodobieństwa mogą się zmienić. Używanie początkowego prawdopodobieństwa na każdej gałęzi prowadzi do błędnego drzewka.

Dodawanie wtedy, gdy trzeba mnożyć

Wzdłuż jednej ścieżki wyznaczasz prawdopodobieństwo, że kilka rzeczy wydarzy się kolejno, więc mnożysz.

Mnożenie wtedy, gdy trzeba dodawać

Jeśli zdarzenie może zajść przez więcej niż jedną korzystną ścieżkę, taką jak $RB$ albo $BR$, oblicz każdą ścieżkę, a potem je dodaj.

Pomijanie niemożliwej gałęzi

Czasami gałąź ma prawdopodobieństwo $0$. Nadal jest ważna, ponieważ pokazuje, że dany wynik nie może zajść od tego momentu.

Kiedy używa się diagramów drzewkowych prawdopodobieństwa

Diagramy drzewkowe są powszechne w podstawach rachunku prawdopodobieństwa, zadaniach z kartami i losowaniem kul, testach medycznych z etapowymi wynikami oraz w każdej sytuacji, w której zdarzenia zachodzą po kolei.

Są też dobrym wprowadzeniem do prawdopodobieństwa warunkowego. Nawet jeśli później przejdziesz do wzorów, drzewko często jest najszybszym sposobem, by najpierw zobaczyć strukturę zadania.

Spróbuj własnej wersji

Spróbuj podobnego zadania z workiem, który zawiera $3$ zielone kule i $2$ żółte kule. Wylosuj dwie kule bez zwracania i znajdź prawdopodobieństwo, że obie kule będą tego samego koloru.

Jeśli chcesz zrobić kolejny krok, wypróbuj własną wersję w GPAI Solver i porównaj swoje drzewko z rozwiązaniem krok po kroku.