Diagram Pohon Probabilitas — Cara Menggambar & Menghitung

Diagram pohon probabilitas adalah gambar dari suatu proses peluang yang terjadi dalam beberapa tahap. Anda menggambar satu cabang untuk setiap hasil yang mungkin, memberi label pada tiap cabang dengan probabilitasnya, mengalikan sepanjang satu jalur penuh, lalu menjumlahkan jalur-jalur berhasil yang berbeda ketika suatu kejadian bisa terjadi dengan lebih dari satu cara.

Diagram ini paling berguna ketika probabilitas pada tahap berikutnya bergantung pada hasil sebelumnya. Dalam kasus itu, probabilitas pada cabang-cabang berikutnya bisa berubah dari satu jalur ke jalur lain, sehingga pohon membantu Anda melihat syarat-syaratnya dengan jelas.

Apa yang ditunjukkan diagram pohon probabilitas

Pohon probabilitas dimulai dari satu titik lalu bercabang ke luar. Cabang pertama menunjukkan tahap pertama percobaan, dan cabang berikutnya menunjukkan apa yang bisa terjadi setelah setiap hasil sebelumnya.

Setiap jalur lengkap mewakili satu skenario penuh. Jika soal kantong memiliki dua kali pengambilan, maka jalur seperti $RB$ berarti "merah dulu, lalu biru."

Dua aturan berikut mencakup hampir semua perhitungannya:

$$P(A \text{ then } B) = P(A)P(B \mid A)$$

Gunakan aturan ini untuk satu jalur penuh. Jika tahap kedua tidak bergantung pada tahap pertama, maka $P(B \mid A) = P(B)$, sehingga perkaliannya menjadi lebih sederhana.

Jika suatu kejadian bisa terjadi melalui lebih dari satu jalur berhasil, jumlahkan probabilitas dari jalur-jalur tersebut.

Cara menggambar diagram pohon probabilitas

Mulailah dengan menamai tahap-tahapnya dengan jelas. Misalnya, Anda mungkin punya pengambilan pertama dan pengambilan kedua, atau pelemparan pertama dan pelemparan kedua.

Dari setiap node, gambar semua hasil yang mungkin untuk tahap itu dan beri label pada tiap cabang dengan probabilitas yang berlaku di node tersebut. Bagian ini sering dikerjakan terlalu terburu-buru oleh siswa. Jika soalnya menyebut "tanpa pengembalian" atau memberi informasi tambahan, probabilitas pada cabang berikutnya bisa berubah.

Satu pemeriksaan cepat bisa menangkap banyak kesalahan: cabang-cabang yang keluar dari node yang sama harus berjumlah $1$. Jika tidak, pohonnya belum lengkap atau salah satu probabilitasnya salah.

Kapan dikalikan dan kapan dijumlahkan

Kalikan ketika Anda mengikuti satu jalur dan ingin mencari probabilitas bahwa beberapa kejadian terjadi secara berurutan.

Jumlahkan ketika kejadian akhir bisa terjadi melalui beberapa jalur lengkap yang berbeda. Misalnya, "tepat satu merah dan satu biru" bisa terjadi sebagai $RB$ atau $BR$, jadi hitung dulu setiap jalur lalu jumlahkan.

Contoh diagram pohon probabilitas: dua kali pengambilan tanpa pengembalian

Misalkan sebuah kantong berisi $2$ bola merah dan $1$ bola biru. Anda mengambil satu bola, tidak mengembalikannya, lalu mengambil bola kedua. Berapa probabilitas mendapatkan tepat satu merah dan satu biru?

Mulailah pohon dengan pengambilan pertama:

• Merah pada pengambilan pertama: $P(R) = \frac{2}{3}$
• Biru pada pengambilan pertama: $P(B) = \frac{1}{3}$

Sekarang perbarui probabilitas pengambilan kedua pada setiap cabang.

Jika bola pertama berwarna merah, kantong tersisa $1$ merah dan $1$ biru, jadi:

• $P(R \mid R) = \frac{1}{2}$
• $P(B \mid R) = \frac{1}{2}$

Jika bola pertama berwarna biru, kantong tersisa $2$ merah dan $0$ biru, jadi:

• $P(R \mid B) = 1$
• $P(B \mid B) = 0$

Sekarang kalikan sepanjang setiap jalur lengkap:

$$P(RR) = \frac{2}{3}\cdot\frac{1}{2} = \frac{1}{3}$$ $$P(RB) = \frac{2}{3}\cdot\frac{1}{2} = \frac{1}{3}$$ $$P(BR) = \frac{1}{3}\cdot 1 = \frac{1}{3}$$ $$P(BB) = \frac{1}{3}\cdot 0 = 0$$

"Tepat satu merah dan satu biru" terjadi pada dua jalur yang berbeda: $RB$ atau $BR$. Jumlahkan probabilitas kedua jalur itu:

$$P(\text{exactly one red and one blue}) = P(RB) + P(BR) = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$$

Inilah alasan utama diagram pohon sangat membantu. Probabilitas pengambilan kedua tidak tetap; nilainya bergantung pada pengambilan pertama, dan pohon membuat ketergantungan itu mudah dilihat.

Kesalahan umum pada pohon probabilitas

Lupa memperbarui probabilitas tahap berikutnya

Jika percobaannya tanpa pengembalian, atau jika Anda memperoleh informasi baru setelah tahap pertama, probabilitas berikutnya bisa berubah. Menggunakan ulang probabilitas awal pada setiap cabang akan menghasilkan pohon yang salah.

Menjumlahkan saat seharusnya mengalikan

Sepanjang satu jalur, Anda sedang mencari probabilitas bahwa beberapa hal terjadi secara berurutan, jadi Anda harus mengalikan.

Mengalikan saat seharusnya menjumlahkan

Jika suatu kejadian bisa terjadi melalui lebih dari satu jalur berhasil, seperti $RB$ atau $BR$, hitung setiap jalur lalu jumlahkan.

Menghilangkan cabang yang mustahil

Kadang sebuah cabang memiliki probabilitas $0$. Cabang itu tetap penting karena menunjukkan bahwa hasil tersebut tidak mungkin terjadi dari titik itu.

Kapan diagram pohon probabilitas digunakan

Diagram pohon umum digunakan dalam probabilitas dasar, soal kartu dan pengambilan bola, pengujian medis dengan hasil bertahap, dan situasi apa pun ketika kejadian terjadi secara berurutan.

Diagram ini juga menjadi jembatan yang baik menuju probabilitas bersyarat. Bahkan jika nanti Anda beralih ke rumus, pohon sering kali merupakan cara tercepat untuk melihat struktur soal terlebih dahulu.

Coba versi Anda sendiri

Cobalah soal serupa dengan sebuah kantong yang berisi $3$ bola hijau dan $2$ bola kuning. Ambil dua bola tanpa pengembalian dan tentukan probabilitas bahwa kedua bola berwarna sama.

Jika Anda ingin langkah berikutnya setelah itu, coba versi Anda sendiri di GPAI Solver dan bandingkan pohon Anda dengan solusi langkah demi langkah.