Olasılık Ağaç Diyagramları — Nasıl Çizilir ve Hesaplanır

Olasılık ağaç diyagramı, aşamalar halinde gerçekleşen bir şans sürecinin görsel gösterimidir. Her olası sonuç için bir dal çizilir, her dal kendi olasılığıyla etiketlenir, tam bir yol boyunca olasılıklar çarpılır ve olay birden fazla şekilde gerçekleşebiliyorsa başarılı yollar toplanır.

Özellikle sonraki olasılıkların önceki sonuçlara bağlı olduğu durumlarda çok kullanışlıdır. Bu durumda sonraki dallardaki olasılıklar bir yoldan diğerine değişebilir; ağaç diyagramı da bu koşulları görünür tutar.

Olasılık ağaç diyagramları neyi gösterir

Bir olasılık ağacı tek bir noktadan başlar ve dışa doğru dallanır. İlk dallar deneyin ilk aşamasını, sonraki dallar ise her önceki sonuçtan sonra neler olabileceğini gösterir.

Her tam yol, eksiksiz bir senaryoyu temsil eder. Bir torbadan iki çekiş yapılan bir soruda, $RB$ gibi bir yol “önce kırmızı, sonra mavi” anlamına gelir.

Hesaplamanın neredeyse tamamı iki kuralla yapılır:

$$P(A \text{ then } B) = P(A)P(B \mid A)$$

Bu kuralı tek bir tam yol için kullanın. Eğer ikinci aşama birinciye bağlı değilse, $P(B \mid A) = P(B)$ olur; bu durumda çarpma daha basittir.

Olay birden fazla başarılı yoldan gerçekleşebiliyorsa, bu yolların olasılıklarını toplayın.

Olasılık ağaç diyagramı nasıl çizilir

Önce aşamaları açıkça adlandırın. Örneğin birinci çekiş ve ikinci çekiş ya da birinci atış ve ikinci atış olabilir.

Her düğümden, o aşamadaki tüm olası sonuçları gösteren dalları çizin ve her dalı o düğümde geçerli olan olasılıkla etiketleyin. Öğrencilerin en sık acele ettiği kısım burasıdır. Soruda “geri koymadan” deniyorsa veya ek bilgi veriliyorsa, sonraki dalların olasılıkları değişebilir.

Bir hızlı kontrol birçok hatayı yakalar: aynı düğümden çıkan dalların toplamı $1$ olmalıdır. Böyle değilse ağaç eksiktir ya da olasılıklardan biri yanlıştır.

Ne zaman çarpılır, ne zaman toplanır

Tek bir yol üzerinde kalıp birkaç olayın sırayla gerçekleşme olasılığını istiyorsanız çarpın.

Son olay farklı tam yollarla gerçekleşebiliyorsa toplayın. Örneğin “tam olarak bir kırmızı ve bir mavi” olayı $RB$ ya da $BR$ şeklinde olabilir; bu yüzden önce her yolu hesaplar, sonra toplarsınız.

Olasılık ağaç diyagramı örneği: geri koymadan iki çekiş

Bir torbada $2$ kırmızı top ve $1$ mavi top olduğunu düşünün. Bir top çekiyorsunuz, geri koymuyorsunuz ve sonra ikinci bir top çekiyorsunuz. Tam olarak bir kırmızı ve bir mavi gelme olasılığı nedir?

Ağacı ilk çekişle başlatın:

• İlk çekişte kırmızı: $P(R) = \frac{2}{3}$
• İlk çekişte mavi: $P(B) = \frac{1}{3}$

Şimdi her dal için ikinci çekiş olasılıklarını güncelleyin.

İlk top kırmızıysa, torbada $1$ kırmızı ve $1$ mavi kalır, dolayısıyla:

• $P(R \mid R) = \frac{1}{2}$
• $P(B \mid R) = \frac{1}{2}$

İlk top maviyse, torbada $2$ kırmızı ve $0$ mavi kalır, dolayısıyla:

• $P(R \mid B) = 1$
• $P(B \mid B) = 0$

Şimdi her tam yol boyunca çarpın:

$$P(RR) = \frac{2}{3}\cdot\frac{1}{2} = \frac{1}{3}$$ $$P(RB) = \frac{2}{3}\cdot\frac{1}{2} = \frac{1}{3}$$ $$P(BR) = \frac{1}{3}\cdot 1 = \frac{1}{3}$$ $$P(BB) = \frac{1}{3}\cdot 0 = 0$$

“Tam olarak bir kırmızı ve bir mavi” iki farklı yolda gerçekleşir: $RB$ veya $BR$. Bu iki yolun olasılıklarını toplayın:

$$P(\text{exactly one red and one blue}) = P(RB) + P(BR) = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$$

Ağaç diyagramlarının bu kadar yardımcı olmasının temel nedeni budur. İkinci çekişin olasılıkları sabit değildir; ilk çekişe bağlıdır ve ağaç bu bağımlılığı görmeyi kolaylaştırır.

Olasılık ağaçlarında sık yapılan hatalar

Sonraki olasılıkları güncellemeyi unutmak

Deney geri koymadan yapılıyorsa ya da ilk aşamadan sonra yeni bilgi öğreniliyorsa, sonraki olasılıklar değişebilir. Her dalda başlangıç olasılığını tekrar kullanmak yanlış bir ağaç verir.

Çarpmanız gerekirken toplamak

Tek bir yol boyunca, birkaç şeyin sırayla gerçekleşme olasılığını buluyorsunuz; bu yüzden çarpmanız gerekir.

Toplamanız gerekirken çarpmak

Bir olay $RB$ veya $BR$ gibi birden fazla başarılı yoldan gerçekleşebiliyorsa, önce her yolu hesaplayın, sonra toplayın.

İmkânsız bir dalı dışarıda bırakmak

Bazen bir dalın olasılığı $0$ olur. Yine de önemlidir, çünkü o noktadan itibaren sonucun gerçekleşemeyeceğini gösterir.

Olasılık ağaç diyagramları ne zaman kullanılır

Ağaç diyagramları temel olasılıkta, kart ve top çekme sorularında, aşamalı sonuçlara sahip tıbbi testlerde ve olayların sırayla gerçekleştiği her düzende yaygındır.

Ayrıca koşullu olasılığa geçiş için de iyi bir köprüdür. Daha sonra formüllere geçseniz bile, sorunun yapısını önce görmek için ağaç çoğu zaman en hızlı yoldur.

Kendi versiyonunuzu deneyin

İçinde $3$ yeşil top ve $2$ sarı top bulunan benzer bir torba sorusu deneyin. Geri koymadan iki top çekin ve iki topun da aynı renkte olma olasılığını bulun.

Bundan sonra bir sonraki adımı denemek isterseniz, kendi versiyonunuzu GPAI Solver içinde çözün ve ağacınızı adım adım çözümle karşılaştırın.