Δενδροδιαγράμματα πιθανοτήτων — Πώς να τα σχεδιάζετε και να υπολογίζετε

Ένα δενδροδιάγραμμα πιθανοτήτων είναι μια εικόνα μιας τυχαίας διαδικασίας που συμβαίνει σε στάδια. Σχεδιάζετε έναν κλάδο για κάθε δυνατό αποτέλεσμα, σημειώνετε σε κάθε κλάδο την πιθανότητά του, πολλαπλασιάζετε κατά μήκος μιας πλήρους διαδρομής και προσθέτετε τις διαφορετικές επιτυχημένες διαδρομές όταν το γεγονός μπορεί να συμβεί με περισσότερους από έναν τρόπους.

Είναι πιο χρήσιμο όταν οι μεταγενέστερες πιθανότητες εξαρτώνται από προηγούμενα αποτελέσματα. Σε αυτή την περίπτωση, οι πιθανότητες στους επόμενους κλάδους μπορεί να αλλάζουν από διαδρομή σε διαδρομή, οπότε το δέντρο σας βοηθά να βλέπετε καθαρά τις συνθήκες.

Τι δείχνουν τα δενδροδιαγράμματα πιθανοτήτων

Ένα δέντρο πιθανοτήτων ξεκινά από ένα σημείο και διακλαδίζεται προς τα έξω. Οι πρώτοι κλάδοι δείχνουν το πρώτο στάδιο του πειράματος και οι επόμενοι κλάδοι δείχνουν τι μπορεί να συμβεί μετά από κάθε προηγούμενο αποτέλεσμα.

Κάθε πλήρης διαδρομή αντιπροσωπεύει ένα ολόκληρο σενάριο. Αν ένα πρόβλημα με σακούλα έχει δύο τραβήγματα, τότε μια διαδρομή όπως $RB$ σημαίνει «πρώτα κόκκινο, μετά μπλε».

Δύο κανόνες κάνουν σχεδόν όλους τους υπολογισμούς:

$$P(A \text{ then } B) = P(A)P(B \mid A)$$

Χρησιμοποιήστε αυτόν τον κανόνα για μία πλήρη διαδρομή. Αν το δεύτερο στάδιο δεν εξαρτάται από το πρώτο, τότε $P(B \mid A) = P(B)$, οπότε ο πολλαπλασιασμός είναι πιο απλός.

Αν το γεγονός μπορεί να συμβεί μέσω περισσότερων από μίας επιτυχημένων διαδρομών, προσθέστε τις πιθανότητες αυτών των διαδρομών.

Πώς να σχεδιάσετε ένα δενδροδιάγραμμα πιθανοτήτων

Ξεκινήστε ονομάζοντας καθαρά τα στάδια. Για παράδειγμα, μπορεί να έχετε ένα πρώτο τράβηγμα και ένα δεύτερο τράβηγμα, ή μία πρώτη ρίψη και μία δεύτερη ρίψη.

Από κάθε κόμβο, σχεδιάστε κάθε δυνατό αποτέλεσμα για εκείνο το στάδιο και σημειώστε σε κάθε κλάδο την πιθανότητα που ισχύει σε εκείνον τον κόμβο. Αυτό είναι το σημείο που οι μαθητές συχνά βιάζονται. Αν η εκφώνηση λέει «χωρίς επανατοποθέτηση» ή δίνει επιπλέον πληροφορίες, οι πιθανότητες στους επόμενους κλάδους μπορεί να αλλάξουν.

Ένας γρήγορος έλεγχος εντοπίζει πολλά λάθη: οι κλάδοι που φεύγουν από τον ίδιο κόμβο πρέπει να έχουν άθροισμα $1$. Αν δεν έχουν, το δέντρο είναι ελλιπές ή κάποια πιθανότητα είναι λανθασμένη.

Πότε πολλαπλασιάζουμε και πότε προσθέτουμε

Πολλαπλασιάζετε όταν μένετε σε μία διαδρομή και θέλετε την πιθανότητα να συμβούν διαδοχικά πολλά γεγονότα.

Προσθέτετε όταν το τελικό γεγονός μπορεί να συμβεί μέσω διαφορετικών πλήρων διαδρομών. Για παράδειγμα, το «ακριβώς ένα κόκκινο και ένα μπλε» μπορεί να συμβεί ως $RB$ ή $BR$, οπότε υπολογίζετε πρώτα κάθε διαδρομή και μετά τις προσθέτετε.

Παράδειγμα δενδροδιαγράμματος πιθανοτήτων: δύο τραβήγματα χωρίς επανατοποθέτηση

Υποθέστε ότι μια σακούλα περιέχει $2$ κόκκινες μπάλες και $1$ μπλε μπάλα. Τραβάτε μία μπάλα, δεν την επανατοποθετείτε, και μετά τραβάτε δεύτερη. Ποια είναι η πιθανότητα να πάρετε ακριβώς μία κόκκινη και μία μπλε;

Ξεκινήστε το δέντρο με το πρώτο τράβηγμα:

• Κόκκινο στο πρώτο τράβηγμα: $P(R) = \frac{2}{3}$
• Μπλε στο πρώτο τράβηγμα: $P(B) = \frac{1}{3}$

Τώρα ενημερώστε τις πιθανότητες του δεύτερου τραβήγματος σε κάθε κλάδο.

Αν η πρώτη μπάλα είναι κόκκινη, στη σακούλα μένουν $1$ κόκκινη και $1$ μπλε, άρα:

• $P(R \mid R) = \frac{1}{2}$
• $P(B \mid R) = \frac{1}{2}$

Αν η πρώτη μπάλα είναι μπλε, στη σακούλα μένουν $2$ κόκκινες και $0$ μπλε, άρα:

• $P(R \mid B) = 1$
• $P(B \mid B) = 0$

Τώρα πολλαπλασιάστε κατά μήκος κάθε πλήρους διαδρομής:

$$P(RR) = \frac{2}{3}\cdot\frac{1}{2} = \frac{1}{3}$$ $$P(RB) = \frac{2}{3}\cdot\frac{1}{2} = \frac{1}{3}$$ $$P(BR) = \frac{1}{3}\cdot 1 = \frac{1}{3}$$ $$P(BB) = \frac{1}{3}\cdot 0 = 0$$

Το «ακριβώς ένα κόκκινο και ένα μπλε» συμβαίνει σε δύο διαφορετικές διαδρομές: $RB$ ή $BR$. Προσθέστε αυτές τις δύο πιθανότητες διαδρομής:

$$P(\text{exactly one red and one blue}) = P(RB) + P(BR) = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$$

Αυτός είναι ο βασικός λόγος που τα δενδροδιαγράμματα βοηθούν τόσο πολύ. Οι πιθανότητες του δεύτερου τραβήγματος δεν είναι σταθερές· εξαρτώνται από το πρώτο τράβηγμα, και το δέντρο κάνει αυτή την εξάρτηση εύκολη να φανεί.

Συνηθισμένα λάθη στα δέντρα πιθανοτήτων

Να ξεχνάτε να ενημερώνετε τις μεταγενέστερες πιθανότητες

Αν το πείραμα είναι χωρίς επανατοποθέτηση ή αν μαθαίνετε νέες πληροφορίες μετά το πρώτο στάδιο, οι επόμενες πιθανότητες μπορεί να αλλάξουν. Αν χρησιμοποιείτε ξανά την αρχική πιθανότητα σε κάθε κλάδο, προκύπτει λάθος δέντρο.

Να προσθέτετε όταν πρέπει να πολλαπλασιάσετε

Κατά μήκος μίας μόνο διαδρομής, βρίσκετε την πιθανότητα να συμβούν διαδοχικά πολλά πράγματα, άρα πολλαπλασιάζετε.

Να πολλαπλασιάζετε όταν πρέπει να προσθέσετε

Αν ένα γεγονός μπορεί να συμβεί μέσω περισσότερων από μίας επιτυχημένων διαδρομών, όπως $RB$ ή $BR$, υπολογίστε κάθε διαδρομή και μετά προσθέστε τις.

Να παραλείπετε έναν αδύνατο κλάδο

Μερικές φορές ένας κλάδος έχει πιθανότητα $0$. Παρ’ όλα αυτά, έχει σημασία επειδή δείχνει ότι το αποτέλεσμα δεν μπορεί να συμβεί από εκείνο το σημείο.

Πού χρησιμοποιούνται τα δενδροδιαγράμματα πιθανοτήτων

Τα δενδροδιαγράμματα είναι συνηθισμένα στη βασική θεωρία πιθανοτήτων, σε προβλήματα με κάρτες και τραβήγματα από σακούλα, σε ιατρικά τεστ με διαδοχικά αποτελέσματα και σε κάθε περίπτωση όπου τα γεγονότα συμβαίνουν με σειρά.

Είναι επίσης μια καλή γέφυρα προς τη δεσμευμένη πιθανότητα. Ακόμα κι αν αργότερα περάσετε σε τύπους, το δέντρο είναι συχνά ο πιο γρήγορος τρόπος να δείτε πρώτα τη δομή του προβλήματος.

Δοκιμάστε τη δική σας εκδοχή

Δοκιμάστε ένα παρόμοιο πρόβλημα με μια σακούλα που περιέχει $3$ πράσινες μπάλες και $2$ κίτρινες μπάλες. Τραβήξτε δύο μπάλες χωρίς επανατοποθέτηση και βρείτε την πιθανότητα και οι δύο μπάλες να είναι του ίδιου χρώματος.

Αν θέλετε το επόμενο βήμα μετά από αυτό, δοκιμάστε τη δική σας εκδοχή στο GPAI Solver και συγκρίνετε το δέντρο σας με μια λύση βήμα προς βήμα.