Wahrscheinlichkeitsbaum — zeichnen und berechnen

Ein Wahrscheinlichkeitsbaum ist eine Darstellung eines Zufallsvorgangs, der in mehreren Stufen abläuft. Du zeichnest für jedes mögliche Ergebnis einen Ast, beschriftest jeden Ast mit seiner Wahrscheinlichkeit, multiplizierst entlang eines vollständigen Pfads und addierst verschiedene erfolgreiche Pfade, wenn das Ereignis auf mehr als eine Weise eintreten kann.

Besonders nützlich ist er, wenn spätere Wahrscheinlichkeiten von früheren Ergebnissen abhängen. In diesem Fall können sich die Wahrscheinlichkeiten auf späteren Ästen von Pfad zu Pfad ändern, und der Baum hilft dir, diese Bedingungen sichtbar zu halten.

Was Wahrscheinlichkeitsbäume zeigen

Ein Wahrscheinlichkeitsbaum beginnt an einem Punkt und verzweigt sich nach außen. Die ersten Äste zeigen die erste Stufe des Experiments, und die nächsten Äste zeigen, was nach jedem früheren Ergebnis passieren kann.

Jeder vollständige Pfad steht für ein komplettes Szenario. Wenn es in einer Aufgabe mit einer Urne zwei Ziehungen gibt, dann bedeutet ein Pfad wie $RB$ „zuerst rot, dann blau“.

Zwei Regeln übernehmen fast die gesamte Rechnung:

$$P(A \text{ then } B) = P(A)P(B \mid A)$$

Verwende diese Regel für einen vollständigen Pfad. Wenn die zweite Stufe nicht von der ersten abhängt, dann gilt $P(B \mid A) = P(B)$, und die Multiplikation ist einfacher.

Wenn das Ereignis über mehr als einen erfolgreichen Pfad eintreten kann, addierst du diese Pfadwahrscheinlichkeiten.

So zeichnest du einen Wahrscheinlichkeitsbaum

Beginne damit, die Stufen klar zu benennen. Zum Beispiel kannst du eine erste und eine zweite Ziehung haben oder einen ersten und einen zweiten Wurf.

Zeichne von jedem Knoten aus jedes mögliche Ergebnis dieser Stufe und beschrifte jeden Ast mit der Wahrscheinlichkeit, die an diesem Knoten gilt. Diesen Teil übergehen viele Schülerinnen und Schüler zu schnell. Wenn in der Aufgabe „ohne Zurücklegen“ steht oder zusätzliche Informationen gegeben werden, können sich die Wahrscheinlichkeiten auf späteren Ästen ändern.

Eine schnelle Kontrolle findet viele Fehler: Die Äste, die vom selben Knoten ausgehen, sollten zusammen $1$ ergeben. Wenn das nicht so ist, ist der Baum unvollständig oder eine der Wahrscheinlichkeiten ist falsch.

Wann man multipliziert und wann man addiert

Du multiplizierst, wenn du auf einem einzelnen Pfad bleibst und die Wahrscheinlichkeit suchst, dass mehrere Ereignisse nacheinander eintreten.

Du addierst, wenn das gesuchte Endereignis über verschiedene vollständige Pfade eintreten kann. Zum Beispiel kann „genau eine rote und eine blaue Kugel“ als $RB$ oder $BR$ auftreten, also berechnest du zuerst jeden Pfad und addierst dann die Ergebnisse.

Beispiel für einen Wahrscheinlichkeitsbaum: zwei Ziehungen ohne Zurücklegen

Angenommen, eine Urne enthält $2$ rote Kugeln und $1$ blaue Kugel. Du ziehst eine Kugel, legst sie nicht zurück und ziehst dann eine zweite Kugel. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, genau eine rote und eine blaue Kugel zu ziehen?

Beginne den Baum mit der ersten Ziehung:

• Rot bei der ersten Ziehung: $P(R) = \frac{2}{3}$
• Blau bei der ersten Ziehung: $P(B) = \frac{1}{3}$

Jetzt passt du die Wahrscheinlichkeiten für die zweite Ziehung auf jedem Ast an.

Wenn die erste Kugel rot ist, sind noch $1$ rote und $1$ blaue Kugel in der Urne, also:

• $P(R \mid R) = \frac{1}{2}$
• $P(B \mid R) = \frac{1}{2}$

Wenn die erste Kugel blau ist, sind noch $2$ rote und $0$ blaue Kugeln in der Urne, also:

• $P(R \mid B) = 1$
• $P(B \mid B) = 0$

Nun multiplizierst du entlang jedes vollständigen Pfads:

$$P(RR) = \frac{2}{3}\cdot\frac{1}{2} = \frac{1}{3}$$ $$P(RB) = \frac{2}{3}\cdot\frac{1}{2} = \frac{1}{3}$$ $$P(BR) = \frac{1}{3}\cdot 1 = \frac{1}{3}$$ $$P(BB) = \frac{1}{3}\cdot 0 = 0$$

„Genau eine rote und eine blaue Kugel“ tritt auf zwei verschiedenen Pfaden ein: $RB$ oder $BR$. Addiere diese beiden Pfadwahrscheinlichkeiten:

$$P(\text{exactly one red and one blue}) = P(RB) + P(BR) = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$$

Das ist der Hauptgrund, warum Wahrscheinlichkeitsbäume so hilfreich sind. Die Wahrscheinlichkeiten bei der zweiten Ziehung sind nicht fest; sie hängen von der ersten Ziehung ab, und der Baum macht diese Abhängigkeit leicht sichtbar.

Häufige Fehler bei Wahrscheinlichkeitsbäumen

Spätere Wahrscheinlichkeiten nicht anpassen

Wenn das Experiment ohne Zurücklegen abläuft oder du nach der ersten Stufe neue Informationen erhältst, können sich die nächsten Wahrscheinlichkeiten ändern. Wenn du auf jedem Ast einfach die Anfangswahrscheinlichkeit wiederverwendest, entsteht ein falscher Baum.

Addieren, obwohl man multiplizieren sollte

Entlang eines einzelnen Pfads bestimmst du die Wahrscheinlichkeit, dass mehrere Dinge nacheinander passieren, also multiplizierst du.

Multiplizieren, obwohl man addieren sollte

Wenn ein Ereignis über mehr als einen erfolgreichen Pfad eintreten kann, etwa $RB$ oder $BR$, berechnest du jeden Pfad und addierst sie dann.

Einen unmöglichen Ast weglassen

Manchmal hat ein Ast die Wahrscheinlichkeit $0$. Er ist trotzdem wichtig, weil er zeigt, dass das Ergebnis von diesem Punkt aus nicht eintreten kann.

Wann Wahrscheinlichkeitsbäume verwendet werden

Wahrscheinlichkeitsbäume sind in der Grundwahrscheinlichkeit, bei Karten- und Urnenaufgaben, bei medizinischen Tests mit mehreren Stufen und in jeder Situation üblich, in der Ereignisse in einer bestimmten Reihenfolge passieren.

Sie sind auch ein guter Einstieg in die bedingte Wahrscheinlichkeit. Selbst wenn du später zu Formeln wechselst, ist der Baum oft der schnellste Weg, zuerst die Struktur der Aufgabe zu erkennen.

Probiere deine eigene Variante

Versuche eine ähnliche Aufgabe mit einer Urne, die $3$ grüne Kugeln und $2$ gelbe Kugeln enthält. Ziehe zwei Kugeln ohne Zurücklegen und bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass beide Kugeln dieselbe Farbe haben.

Wenn du danach den nächsten Schritt machen willst, probiere deine eigene Variante in GPAI Solver aus und vergleiche deinen Baum mit einer Schritt-für-Schritt-Lösung.