แผนภาพต้นไม้ความน่าจะเป็น — วิธีวาดและคำนวณ

แผนภาพต้นไม้ความน่าจะเป็นคือภาพที่ใช้แสดงกระบวนการสุ่มที่เกิดขึ้นเป็นลำดับขั้น คุณวาดกิ่งหนึ่งกิ่งสำหรับผลลัพธ์ที่เป็นไปได้แต่ละแบบ ใส่ป้ายกำกับความน่าจะเป็นบนแต่ละกิ่ง คูณค่าตามเส้นทางเต็มหนึ่งเส้น และบวกเส้นทางที่สำเร็จต่างกันเมื่อเหตุการณ์นั้นเกิดขึ้นได้มากกว่าหนึ่งวิธี

แผนภาพนี้มีประโยชน์มากที่สุดเมื่อความน่าจะเป็นในขั้นถัดไปขึ้นอยู่กับผลที่เกิดก่อนหน้า ในกรณีนั้น ความน่าจะเป็นบนกิ่งในภายหลังอาจเปลี่ยนไปตามแต่ละเส้นทาง ดังนั้นแผนภาพต้นไม้จึงช่วยให้คุณเห็นเงื่อนไขต่าง ๆ ได้ชัดเจน

แผนภาพต้นไม้ความน่าจะเป็นแสดงอะไร

แผนภาพต้นไม้ความน่าจะเป็นเริ่มจากจุดเดียวแล้วแตกกิ่งออกไป กิ่งแรกแสดงขั้นแรกของการทดลอง และกิ่งถัดไปแสดงสิ่งที่อาจเกิดขึ้นหลังจากผลลัพธ์ก่อนหน้าแต่ละแบบ

แต่ละเส้นทางที่สมบูรณ์แทนหนึ่งสถานการณ์เต็ม ๆ ถ้าโจทย์เป็นการหยิบจากถุงสองครั้ง เส้นทางอย่าง $RB$ หมายถึง "หยิบสีแดงก่อน แล้วจึงหยิบสีน้ำเงิน"

มีกฎสองข้อที่ใช้ในการคำนวณเกือบทั้งหมด:

$$P(A \text{ then } B) = P(A)P(B \mid A)$$

ใช้กฎนี้กับหนึ่งเส้นทางเต็ม ถ้าขั้นที่สองไม่ได้ขึ้นอยู่กับขั้นแรก ก็จะได้ว่า $P(B \mid A) = P(B)$ ทำให้การคูณง่ายขึ้น

ถ้าเหตุการณ์นั้นเกิดขึ้นได้ผ่านมากกว่าหนึ่งเส้นทางที่สำเร็จ ให้บวกความน่าจะเป็นของแต่ละเส้นทางเข้าด้วยกัน

วิธีวาดแผนภาพต้นไม้ความน่าจะเป็น

เริ่มจากระบุขั้นต่าง ๆ ให้ชัดเจนก่อน ตัวอย่างเช่น อาจเป็นการหยิบครั้งที่หนึ่งและครั้งที่สอง หรือการโยนครั้งที่หนึ่งและครั้งที่สอง

จากแต่ละโหนด ให้วาดทุกผลลัพธ์ที่เป็นไปได้สำหรับขั้นนั้น และใส่ป้ายกำกับแต่ละกิ่งด้วยความน่าจะเป็นที่ใช้ ณ โหนดนั้น นี่คือส่วนที่นักเรียนมักรีบทำเกินไป ถ้าโจทย์บอกว่า "ไม่ใส่คืน" หรือให้ข้อมูลเพิ่มเติม ความน่าจะเป็นของกิ่งในภายหลังอาจเปลี่ยนได้

มีวิธีตรวจเร็ว ๆ ที่ช่วยจับข้อผิดพลาดได้มาก: กิ่งที่ออกจากโหนดเดียวกันควรบวกกันได้ $1$ ถ้าไม่ได้ แสดงว่าแผนภาพยังไม่ครบหรือมีความน่าจะเป็นบางค่าผิด

เมื่อไรควรคูณ และเมื่อไรควรบวก

คูณเมื่อคุณอยู่บนเส้นทางเดียวและต้องการหาความน่าจะเป็นที่หลายเหตุการณ์เกิดขึ้นต่อเนื่องกัน

บวกเมื่อเหตุการณ์สุดท้ายสามารถเกิดขึ้นได้ผ่านหลายเส้นทางเต็ม ตัวอย่างเช่น "ได้สีแดงหนึ่งลูกและสีน้ำเงินหนึ่งลูกพอดี" อาจเกิดเป็น $RB$ หรือ $BR$ ดังนั้นให้คำนวณแต่ละเส้นทางก่อนแล้วจึงบวกกัน

ตัวอย่างแผนภาพต้นไม้ความน่าจะเป็น: หยิบสองครั้งแบบไม่ใส่คืน

สมมติว่ามีลูกบอลสีแดง $2$ ลูก และสีน้ำเงิน $1$ ลูกอยู่ในถุง คุณหยิบลูกบอลหนึ่งลูก ไม่ใส่คืน แล้วหยิบลูกที่สอง ความน่าจะเป็นที่จะได้สีแดงหนึ่งลูกและสีน้ำเงินหนึ่งลูกพอดีคือเท่าไร

เริ่มต้นแผนภาพด้วยการหยิบครั้งแรก:

• หยิบสีแดงครั้งแรก: $P(R) = \frac{2}{3}$
• หยิบสีน้ำเงินครั้งแรก: $P(B) = \frac{1}{3}$

ตอนนี้ปรับความน่าจะเป็นของการหยิบครั้งที่สองบนแต่ละกิ่ง

ถ้าลูกแรกเป็นสีแดง จะเหลือลูกบอลสีแดง $1$ ลูก และสีน้ำเงิน $1$ ลูก ดังนั้น:

• $P(R \mid R) = \frac{1}{2}$
• $P(B \mid R) = \frac{1}{2}$

ถ้าลูกแรกเป็นสีน้ำเงิน จะเหลือลูกบอลสีแดง $2$ ลูก และสีน้ำเงิน $0$ ลูก ดังนั้น:

• $P(R \mid B) = 1$
• $P(B \mid B) = 0$

ตอนนี้คูณตามแต่ละเส้นทางเต็ม:

$$P(RR) = \frac{2}{3}\cdot\frac{1}{2} = \frac{1}{3}$$ $$P(RB) = \frac{2}{3}\cdot\frac{1}{2} = \frac{1}{3}$$ $$P(BR) = \frac{1}{3}\cdot 1 = \frac{1}{3}$$ $$P(BB) = \frac{1}{3}\cdot 0 = 0$$

"ได้สีแดงหนึ่งลูกและสีน้ำเงินหนึ่งลูกพอดี" เกิดขึ้นได้จากสองเส้นทาง: $RB$ หรือ $BR$ ให้บวกความน่าจะเป็นของสองเส้นทางนี้:

$$P(\text{exactly one red and one blue}) = P(RB) + P(BR) = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$$

นี่คือเหตุผลสำคัญที่แผนภาพต้นไม้ช่วยได้มาก ความน่าจะเป็นของการหยิบครั้งที่สองไม่ได้คงที่ แต่ขึ้นอยู่กับการหยิบครั้งแรก และแผนภาพต้นไม้ทำให้เห็นความขึ้นต่อกันนี้ได้ง่าย

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยในแผนภาพต้นไม้ความน่าจะเป็น

ลืมปรับความน่าจะเป็นในขั้นถัดไป

ถ้าการทดลองเป็นแบบไม่ใส่คืน หรือถ้าคุณได้ข้อมูลใหม่หลังจากขั้นแรก ความน่าจะเป็นถัดไปอาจเปลี่ยนได้ การใช้ความน่าจะเป็นตั้งต้นซ้ำในทุกกิ่งจะทำให้แผนภาพผิด

บวกทั้งที่ควรคูณ

บนเส้นทางเดียว คุณกำลังหาความน่าจะเป็นที่หลายสิ่งเกิดขึ้นต่อเนื่องกัน ดังนั้นต้องคูณ

คูณทั้งที่ควรบวก

ถ้าเหตุการณ์หนึ่งเกิดขึ้นได้ผ่านมากกว่าหนึ่งเส้นทางที่สำเร็จ เช่น $RB$ หรือ $BR$ ให้คำนวณแต่ละเส้นทางก่อนแล้วจึงบวกกัน

ละกิ่งที่เป็นไปไม่ได้ออกไป

บางครั้งกิ่งหนึ่งมีความน่าจะเป็นเป็น $0$ แต่ก็ยังสำคัญ เพราะมันแสดงให้เห็นว่าผลลัพธ์นั้นไม่สามารถเกิดขึ้นได้จากจุดนั้น

แผนภาพต้นไม้ความน่าจะเป็นใช้เมื่อไร

แผนภาพต้นไม้พบได้บ่อยในความน่าจะเป็นพื้นฐาน โจทย์ไพ่และการหยิบลูกบอล การตรวจทางการแพทย์ที่มีผลลัพธ์เป็นลำดับขั้น และสถานการณ์ใด ๆ ที่เหตุการณ์เกิดขึ้นตามลำดับ

มันยังเป็นสะพานเชื่อมที่ดีไปสู่ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข แม้ภายหลังคุณจะเปลี่ยนไปใช้สูตร แผนภาพต้นไม้มักเป็นวิธีที่เร็วที่สุดในการมองเห็นโครงสร้างของโจทย์ก่อน

ลองทำเวอร์ชันของคุณเอง

ลองทำโจทย์คล้ายกันกับถุงที่มีลูกบอลสีเขียว $3$ ลูก และสีเหลือง $2$ ลูก หยิบสองลูกแบบไม่ใส่คืน แล้วหาความน่าจะเป็นที่ลูกบอลทั้งสองมีสีเดียวกัน

ถ้าคุณอยากลองต่อจากนั้น ให้ทำเวอร์ชันของคุณเองใน GPAI Solver แล้วเปรียบเทียบแผนภาพต้นไม้ของคุณกับวิธีทำแบบทีละขั้น