Sơ đồ cây xác suất — Cách vẽ và tính

Sơ đồ cây xác suất là hình biểu diễn một quá trình ngẫu nhiên diễn ra theo từng giai đoạn. Bạn vẽ một nhánh cho mỗi kết quả có thể xảy ra, ghi xác suất trên từng nhánh, nhân dọc theo một đường đi hoàn chỉnh, rồi cộng các đường đi thành công khác nhau khi biến cố có thể xảy ra theo nhiều cách.

Nó đặc biệt hữu ích khi các xác suất ở giai đoạn sau phụ thuộc vào kết quả trước đó. Khi đó, xác suất trên các nhánh sau có thể thay đổi từ đường đi này sang đường đi khác, nên sơ đồ cây giúp bạn nhìn rõ các điều kiện.

Sơ đồ cây xác suất cho thấy điều gì

Một sơ đồ cây xác suất bắt đầu từ một điểm rồi tỏa ra thành các nhánh. Các nhánh đầu tiên biểu diễn giai đoạn đầu của phép thử, còn các nhánh tiếp theo cho thấy điều gì có thể xảy ra sau mỗi kết quả trước đó.

Mỗi đường đi hoàn chỉnh biểu diễn một kịch bản đầy đủ. Nếu một bài toán về túi có hai lần rút, thì một đường đi như $RB$ nghĩa là "đỏ trước, rồi xanh."

Hai quy tắc xử lý gần như toàn bộ phần tính toán:

$$P(A \text{ then } B) = P(A)P(B \mid A)$$

Dùng quy tắc này cho một đường đi hoàn chỉnh. Nếu giai đoạn thứ hai không phụ thuộc vào giai đoạn thứ nhất, thì $P(B \mid A) = P(B)$, nên phép nhân sẽ đơn giản hơn.

Nếu biến cố có thể xảy ra qua nhiều đường đi thành công, hãy cộng xác suất của các đường đi đó.

Cách vẽ sơ đồ cây xác suất

Bắt đầu bằng cách xác định rõ các giai đoạn. Ví dụ, bạn có thể có lần rút thứ nhất và lần rút thứ hai, hoặc lần tung thứ nhất và lần tung thứ hai.

Từ mỗi nút, vẽ mọi kết quả có thể xảy ra ở giai đoạn đó và ghi xác suất phù hợp trên mỗi nhánh tại nút đó. Đây là phần học sinh thường làm vội. Nếu đề bài nói "không hoàn lại" hoặc cho thêm thông tin, thì xác suất ở các nhánh sau có thể thay đổi.

Có một cách kiểm tra nhanh giúp phát hiện nhiều lỗi: các nhánh đi ra từ cùng một nút phải có tổng bằng $1$. Nếu không, sơ đồ cây chưa đầy đủ hoặc một trong các xác suất bị sai.

Khi nào nhân và khi nào cộng

Nhân khi bạn đi theo một đường đi và muốn tính xác suất để nhiều biến cố xảy ra liên tiếp.

Cộng khi biến cố cuối cùng có thể xảy ra qua những đường đi hoàn chỉnh khác nhau. Ví dụ, "đúng một quả đỏ và một quả xanh" có thể xảy ra theo $RB$ hoặc $BR$, nên bạn tính từng đường đi trước rồi cộng lại.

Ví dụ về sơ đồ cây xác suất: rút hai lần không hoàn lại

Giả sử một túi có $2$ quả bóng đỏ và $1$ quả bóng xanh. Bạn rút một quả, không bỏ lại, rồi rút quả thứ hai. Xác suất để nhận được đúng một quả đỏ và một quả xanh là bao nhiêu?

Bắt đầu sơ đồ cây với lần rút thứ nhất:

• Đỏ ở lần rút thứ nhất: $P(R) = \frac{2}{3}$
• Xanh ở lần rút thứ nhất: $P(B) = \frac{1}{3}$

Bây giờ cập nhật xác suất của lần rút thứ hai trên mỗi nhánh.

Nếu quả đầu tiên là đỏ, trong túi còn $1$ quả đỏ và $1$ quả xanh, nên:

• $P(R \mid R) = \frac{1}{2}$
• $P(B \mid R) = \frac{1}{2}$

Nếu quả đầu tiên là xanh, trong túi còn $2$ quả đỏ và $0$ quả xanh, nên:

• $P(R \mid B) = 1$
• $P(B \mid B) = 0$

Bây giờ nhân dọc theo từng đường đi hoàn chỉnh:

$$P(RR) = \frac{2}{3}\cdot\frac{1}{2} = \frac{1}{3}$$ $$P(RB) = \frac{2}{3}\cdot\frac{1}{2} = \frac{1}{3}$$ $$P(BR) = \frac{1}{3}\cdot 1 = \frac{1}{3}$$ $$P(BB) = \frac{1}{3}\cdot 0 = 0$$

"Đúng một quả đỏ và một quả xanh" xảy ra theo hai đường đi khác nhau: $RB$ hoặc $BR$. Cộng xác suất của hai đường đi đó:

$$P(\text{exactly one red and one blue}) = P(RB) + P(BR) = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$$

Đó là lý do chính khiến sơ đồ cây hữu ích như vậy. Xác suất ở lần rút thứ hai không cố định; chúng phụ thuộc vào lần rút thứ nhất, và sơ đồ cây giúp bạn thấy rõ sự phụ thuộc đó.

Những lỗi thường gặp với sơ đồ cây xác suất

Quên cập nhật các xác suất về sau

Nếu phép thử là không hoàn lại, hoặc nếu bạn biết thêm thông tin mới sau giai đoạn đầu, thì các xác suất tiếp theo có thể thay đổi. Dùng lại xác suất ban đầu cho mọi nhánh sẽ cho ra sơ đồ sai.

Cộng khi lẽ ra phải nhân

Trên một đường đi đơn lẻ, bạn đang tìm xác suất để nhiều điều xảy ra liên tiếp, nên phải nhân.

Nhân khi lẽ ra phải cộng

Nếu một biến cố có thể xảy ra qua nhiều đường đi thành công, như $RB$ hoặc $BR$, hãy tính từng đường đi rồi cộng lại.

Bỏ sót một nhánh không thể xảy ra

Đôi khi một nhánh có xác suất $0$. Nó vẫn quan trọng vì cho thấy kết quả đó không thể xảy ra từ điểm đó.

Khi nào dùng sơ đồ cây xác suất

Sơ đồ cây thường gặp trong xác suất cơ bản, các bài toán rút thẻ hoặc rút bóng, xét nghiệm y khoa có kết quả theo từng giai đoạn, và mọi tình huống mà các biến cố xảy ra theo thứ tự.

Chúng cũng là cầu nối tốt để đi vào xác suất có điều kiện. Ngay cả khi sau này bạn chuyển sang dùng công thức, sơ đồ cây thường vẫn là cách nhanh nhất để nhìn ra cấu trúc của bài toán trước.

Hãy thử phiên bản của riêng bạn

Hãy thử một bài tương tự với một túi chứa $3$ quả bóng xanh lá và $2$ quả bóng vàng. Rút hai quả không hoàn lại và tìm xác suất để cả hai quả cùng màu.

Nếu muốn làm bước tiếp theo sau đó, hãy thử phiên bản của riêng bạn trong GPAI Solver và so sánh sơ đồ cây của bạn với lời giải từng bước.