확률 나무도표 — 그리는 법과 계산 방법

확률 나무도표는 단계적으로 일어나는 확률 과정을 그림으로 나타낸 것입니다. 가능한 결과마다 가지를 하나씩 그리고, 각 가지에 그 확률을 표시한 뒤, 하나의 전체 경로에서는 확률을 곱하고, 사건이 여러 방식으로 일어날 수 있으면 성공하는 서로 다른 경로들의 확률을 더합니다.

이 도표는 특히 뒤의 확률이 앞선 결과에 따라 달라질 때 유용합니다. 이런 경우 뒤쪽 가지의 확률은 경로마다 달라질 수 있으므로, 나무도표를 쓰면 그 조건을 눈에 보이게 정리할 수 있습니다.

확률 나무도표가 보여주는 것

확률 나무는 한 점에서 시작해 바깥으로 가지를 뻗어 나갑니다. 첫 번째 가지들은 실험의 첫 단계 결과를 나타내고, 그다음 가지들은 앞선 각 결과 이후에 무엇이 일어날 수 있는지를 보여줍니다.

각 완전한 경로는 하나의 전체 경우를 나타냅니다. 예를 들어 주머니에서 두 번 뽑는 문제라면, $RB$ 같은 경로는 "처음에 빨강, 그다음에 파랑"을 뜻합니다.

계산의 대부분은 다음 두 규칙으로 할 수 있습니다:

$$P(A \text{ then } B) = P(A)P(B \mid A)$$

이 규칙은 하나의 전체 경로에 사용합니다. 두 번째 단계가 첫 번째 단계에 의존하지 않는다면 $P(B \mid A) = P(B)$ 이므로 곱셈이 더 간단해집니다.

사건이 성공하는 경로가 둘 이상이라면, 그 경로들의 확률을 더합니다.

확률 나무도표를 그리는 방법

먼저 단계를 분명하게 정합니다. 예를 들어 첫 번째 뽑기와 두 번째 뽑기, 또는 첫 번째 던지기와 두 번째 던지기처럼 나눌 수 있습니다.

각 노드에서 그 단계의 가능한 모든 결과를 가지로 그리고, 그 노드에서 적용되는 확률을 각 가지에 표시합니다. 학생들이 자주 서두르는 부분이 바로 여기입니다. 문제에 "비복원추출"이라고 되어 있거나 추가 정보가 주어지면, 뒤쪽 가지의 확률은 달라질 수 있습니다.

간단한 점검 하나로 많은 실수를 잡을 수 있습니다. 같은 노드에서 나가는 가지들의 확률 합은 $1$이어야 합니다. 그렇지 않다면 나무도표가 완전하지 않거나 어떤 확률이 잘못된 것입니다.

언제 곱하고 언제 더할까

하나의 경로를 따라가면서 여러 사건이 순서대로 일어날 확률을 구할 때는 곱합니다.

최종 사건이 서로 다른 완전한 경로를 통해 일어날 수 있을 때는 더합니다. 예를 들어 "빨강 하나와 파랑 하나를 정확히 뽑기"는 $RB$ 또는 $BR$로 일어날 수 있으므로, 각 경로를 먼저 계산한 뒤 더합니다.

확률 나무도표 예제: 비복원으로 두 번 뽑기

주머니에 빨간 공 $2$개와 파란 공 $1$개가 들어 있다고 합시다. 공을 하나 뽑고, 다시 넣지 않은 뒤, 두 번째 공을 뽑습니다. 빨강 하나와 파랑 하나를 정확히 뽑을 확률은 얼마일까요?

첫 번째 뽑기로 나무를 시작합니다:

• 첫 번째에 빨강: $P(R) = \frac{2}{3}$
• 첫 번째에 파랑: $P(B) = \frac{1}{3}$

이제 각 가지에서 두 번째 뽑기의 확률을 갱신합니다.

첫 번째 공이 빨강이면, 주머니에는 빨강 $1$개와 파랑 $1$개가 남으므로:

• $P(R \mid R) = \frac{1}{2}$
• $P(B \mid R) = \frac{1}{2}$

첫 번째 공이 파랑이면, 주머니에는 빨강 $2$개와 파랑 $0$개가 남으므로:

• $P(R \mid B) = 1$
• $P(B \mid B) = 0$

이제 각 완전한 경로를 따라 확률을 곱합니다:

$$P(RR) = \frac{2}{3}\cdot\frac{1}{2} = \frac{1}{3}$$ $$P(RB) = \frac{2}{3}\cdot\frac{1}{2} = \frac{1}{3}$$ $$P(BR) = \frac{1}{3}\cdot 1 = \frac{1}{3}$$ $$P(BB) = \frac{1}{3}\cdot 0 = 0$$

"빨강 하나와 파랑 하나를 정확히 뽑기"는 두 개의 서로 다른 경로, 즉 $RB$ 또는 $BR$에서 일어납니다. 따라서 이 두 경로의 확률을 더합니다:

$$P(\text{exactly one red and one blue}) = P(RB) + P(BR) = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$$

이것이 나무도표가 특히 큰 도움이 되는 주된 이유입니다. 두 번째 뽑기의 확률은 고정되어 있지 않고 첫 번째 뽑기에 따라 달라지며, 나무도표는 그 의존 관계를 쉽게 보이게 해 줍니다.

확률 나무도표에서 자주 하는 실수

뒤의 확률을 갱신하지 않기

실험이 비복원추출이거나 첫 단계 이후에 새로운 정보를 알게 되면, 다음 확률은 달라질 수 있습니다. 모든 가지에 처음 확률을 그대로 쓰면 잘못된 나무도표가 됩니다.

곱해야 할 때 더하기

하나의 경로에서는 여러 일이 순서대로 일어날 확률을 구하는 것이므로 곱해야 합니다.

더해야 할 때 곱하기

사건이 $RB$ 또는 $BR$처럼 둘 이상의 성공 경로로 일어날 수 있다면, 각 경로를 계산한 뒤 더해야 합니다.

불가능한 가지를 빼먹기

어떤 가지의 확률이 $0$인 경우도 있습니다. 그래도 그 가지는 중요합니다. 그 지점에서는 그 결과가 일어날 수 없다는 것을 보여주기 때문입니다.

확률 나무도표는 언제 쓰일까

나무도표는 기초 확률, 카드나 공 뽑기 문제, 단계별 결과가 있는 의료 검사, 그리고 사건이 순서대로 일어나는 모든 상황에서 자주 사용됩니다.

또한 조건부확률로 넘어가는 좋은 연결 고리이기도 합니다. 나중에 공식을 주로 쓰게 되더라도, 먼저 문제의 구조를 파악하는 데에는 나무도표가 가장 빠른 방법인 경우가 많습니다.

직접 비슷한 문제를 해보세요

초록 공 $3$개와 노란 공 $2$개가 들어 있는 주머니로 비슷한 문제를 해보세요. 비복원으로 공 두 개를 뽑을 때, 두 공의 색이 같은 확률을 구해 보세요.

그다음 단계로 넘어가고 싶다면, GPAI Solver에서 직접 비슷한 문제를 풀어 보고 자신의 나무도표를 단계별 풀이와 비교해 보세요.