Loi binomiale — formule, conditions et exemple

La loi binomiale donne la probabilité d’obtenir exactement $k$ succès en $n$ épreuves. Utilisez-la seulement lorsque chaque épreuve a deux issues pour l’événement qui vous intéresse, que les épreuves sont indépendantes et que la probabilité de succès reste la même à chaque fois.

Si l’une de ces conditions n’est pas respectée, les calculs peuvent sembler corrects alors que le modèle lui-même est faux.

Ce que signifie la loi binomiale

Supposons que vous répétiez le même type d’épreuve $n$ fois. À chaque épreuve, vous appelez une issue succès et l’autre échec.

Si la probabilité de succès est $p$ à chaque épreuve, alors la variable aléatoire $X$, qui représente le nombre de succès, peut suivre une loi binomiale.

On écrit souvent cela sous la forme

$$X \sim \text{Bin}(n,p)$$

Cette notation signifie :

• $n$ est le nombre d’épreuves
• $p$ est la probabilité de succès à chaque épreuve
• $X$ compte le nombre de succès obtenus

C’est un modèle de dénombrement. Il ne demande pas quelle épreuve a réussi. Il demande combien de succès ont eu lieu au total.

Formule de la loi binomiale

Pour exactement $k$ succès, la probabilité est

$$P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$$

Chaque partie a un rôle :

• $\binom{n}{k}$ compte le nombre de façons de répartir les $k$ succès parmi les $n$ épreuves
• $p^k$ donne la probabilité de ces $k$ succès
• $(1-p)^{n-k}$ donne la probabilité des échecs restants

La formule fonctionne pour $k=0,1,2,\dots,n$.

Quand peut-on utiliser la formule binomiale ?

Utilisez un modèle binomial seulement lorsque toutes les conditions suivantes sont vraies :

Nombre fixe d’épreuves

Vous connaissez à l’avance le nombre d’épreuves. Par exemple, lancer une pièce $8$ fois respecte cette condition.

Deux issues par épreuve

Pour l’événement que vous suivez, chaque épreuve doit être classée en succès ou échec. Un lancer de dé peut aussi convenir si vous définissez le succès comme quelque chose comme « obtenir un $6$ ».

Épreuves indépendantes

Une épreuve ne doit pas modifier la probabilité à l’épreuve suivante. Un tirage avec remise peut respecter cette condition. Un tirage sans remise dans un petit groupe ne la respecte généralement pas.

Probabilité de succès constante

La valeur de $p$ doit rester la même d’une épreuve à l’autre. Si la probabilité change à chaque fois, un modèle binomial simple n’est pas approprié.

Exemple résolu : exactement 3 faces en 5 lancers

Supposons qu’une pièce biaisée tombe sur face avec une probabilité de $0.6$. Vous la lancez $5$ fois. Quelle est la probabilité d’obtenir exactement $3$ faces ?

Prenons face comme événement de succès. Alors

$$n=5,\quad p=0.6,\quad k=3$$

Utilisez la formule :

$$P(X=3)=\binom{5}{3}(0.6)^3(0.4)^2$$

Calculons maintenant chaque partie :

$$\binom{5}{3}=10,\quad (0.6)^3=0.216,\quad (0.4)^2=0.16$$

Donc

$$P(X=3)=10(0.216)(0.16)=0.3456$$

La probabilité d’obtenir exactement $3$ faces est $0.3456$, soit $34.56\%$.

Pourquoi le modèle binomial est-il valide ici ? L’expérience a un $n$ fixe, deux issues par lancer, des épreuves indépendantes et la même probabilité $p=0.6$ à chaque lancer.

Une astuce rapide pour « au moins un »

Pour des questions comme « au moins un succès », le complément est souvent plus rapide que l’addition de nombreux termes.

Par exemple, si $X \sim \text{Bin}(5,0.6)$, alors

$$P(X \ge 1)=1-P(X=0)=1-(0.4)^5$$

Cela fonctionne parce que « au moins un succès » est le complément de « zéro succès ».

Erreurs fréquentes dans les problèmes de loi binomiale

Ignorer les conditions

Une erreur fréquente consiste à utiliser la formule binomiale alors que les épreuves ne sont pas indépendantes. Un exemple classique est de tirer des éléments sans remise dans un petit ensemble tout en faisant comme si $p$ ne changeait jamais.

Mal comprendre ce que signifie « succès »

Dans un problème binomial, succès ne veut pas forcément dire quelque chose de positif. Cela désigne simplement l’issue que vous avez choisi de compter.

Confondre « exactement », « au moins » et « au plus »

Ces expressions conduisent à des calculs différents même dans la même expérience. « Exactement $3$ » correspond à un seul terme, « au moins $3$ » à plusieurs termes, et « au plus $3$ » à une somme différente.

Quand utilise-t-on la loi binomiale ?

La loi binomiale apparaît lorsque vous comptez des résultats répétés de type oui/non, comme défectueux contre non défectueux, réussite contre échec, clic contre absence de clic, ou face contre pile.

Elle est utile en contrôle qualité, en sondage sous les bonnes hypothèses, dans les questions de fiabilité et dans les modèles de probabilité de base en statistique.

Essayez un problème similaire

Essayez votre propre version avec $8$ lancers d’une pièce où $p=0.4$. Commencez par trouver $P(X=2)$, puis trouvez $P(X \ge 1)$ en utilisant le complément. Si vous voulez un autre cas, comparez ce qui change lorsque les épreuves ne sont plus indépendantes.