Probabilité — bases et formules

La probabilité indique à quel point un événement est susceptible de se produire. Dans les problèmes élémentaires, on l’écrit généralement sur une échelle de $0$ à $1$, où $0$ signifie impossible et $1$ signifie certain.

Lorsque les issues sont équiprobables, la formule de base de la probabilité est :

$$P(A) = \frac{\text{favorable outcomes}}{\text{total outcomes}}$$

Cette condition est importante. Ce rapport fonctionne dans des cas comme un dé équilibré ou un jeu de cartes bien mélangé. Il ne s’applique pas automatiquement lorsque certaines issues sont plus probables que d’autres.

Définition de la probabilité : issues et événements

Une issue est un résultat possible. Un événement est un ensemble d’issues qui vous intéressent.

Par exemple, lorsque vous lancez un dé équilibré, obtenir un $4$ est une issue. Obtenir un nombre pair est un événement, car cela comprend $2$, $4$ et $6$.

Si le dé est équilibré, la probabilité d’obtenir un nombre pair est :

$$P(\text{even}) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$$

Cela signifie que l’événement se produit une fois sur deux dans le modèle idéal d’un dé équilibré. La probabilité est une manière précise de décrire l’incertitude, pas seulement une formule à mémoriser.

Formules de probabilité de base à connaître

Formule de base pour des issues équiprobables

Utilisez

$$P(A) = \frac{\text{favorable outcomes}}{\text{total outcomes}}$$

uniquement lorsque chaque issue est équiprobable.

Règle du complément

Il est parfois plus simple de trouver la probabilité qu’un événement ne se produise pas :

$$P(A^c) = 1 - P(A)$$

C’est particulièrement utile pour des expressions comme « au moins un » ou « ne … pas ».

Règle de l’addition

Pour trouver la probabilité que $A$ ou $B$ se produise, utilisez :

$$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$$

On soustrait le chevauchement, car les issues appartenant aux deux événements seraient sinon comptées deux fois.

Si les événements sont incompatibles, alors $P(A \cap B) = 0$, donc la règle devient :

$$P(A \cup B) = P(A) + P(B)$$

Règle de multiplication

Pour des événements indépendants :

$$P(A \cap B) = P(A)P(B)$$

Si le second événement dépend du premier, utilisez plutôt la probabilité conditionnelle :

$$P(A \cap B) = P(A)P(B \mid A)$$

La condition est l’élément important. Ne multipliez pas automatiquement sans avoir justifié l’indépendance.

Exemple résolu : probabilité d’obtenir au moins un $6$ en deux lancers

Supposons que vous lanciez un dé équilibré deux fois. Quelle est la probabilité d’obtenir au moins un $6$ ?

C’est un bon cas pour utiliser la règle du complément. Au lieu de compter tous les cas avec un $6$, commencez par trouver la probabilité de n’obtenir aucun $6$.

Sur un lancer :

$$P(\text{no }6) = \frac{5}{6}$$

Comme les deux lancers sont indépendants, la probabilité de n’obtenir aucun $6$ sur les deux lancers est :

$$P(\text{no }6\text{ on both rolls}) = \frac{5}{6}\cdot\frac{5}{6} = \frac{25}{36}$$

Utilisez maintenant le complément :

$$P(\text{at least one }6) = 1 - \frac{25}{36} = \frac{11}{36}$$

Donc, la probabilité d’obtenir au moins un $6$ en deux lancers est :

$$\frac{11}{36}$$

Cet exemple montre deux idées importantes à la fois : l’indépendance permet de multiplier, et les problèmes de type « au moins un » sont souvent plus simples à traiter avec le complément.

Erreurs fréquentes en probabilité

Une erreur fréquente consiste à utiliser la formule du rapport lorsque les issues ne sont pas équiprobables. La formule $P(A) = \frac{\text{favorable}}{\text{total}}$ ne fonctionne que lorsque chaque issue a la même probabilité.

Une autre erreur consiste à additionner les probabilités d’événements qui se recouvrent sans soustraire leur chevauchement. Si une issue appartient aux deux événements, une simple addition donne une valeur trop grande.

Les élèves confondent aussi « et » avec « ou ». En probabilité, « et » renvoie généralement à une intersection comme $A \cap B$, tandis que « ou » renvoie à une union comme $A \cup B$.

Une dernière erreur consiste à multiplier des événements qui ne sont pas indépendants. Si un résultat modifie la probabilité du suivant, il faut passer par une étape de probabilité conditionnelle.

Quand utilise-t-on les formules de probabilité ?

La probabilité est utilisée partout où l’on raisonne en situation d’incertitude. Les prévisions météorologiques, les tests médicaux, l’assurance, le contrôle qualité, les sondages et les jeux s’appuient tous sur elle.

Le modèle exact dépend de la situation. Certains problèmes utilisent des issues équiprobables, tandis que d’autres reposent sur des données, des hypothèses ou des fréquences observées. Les formules restent utiles, mais seulement lorsque leurs conditions correspondent au problème.

Essayez un problème de probabilité similaire

Essayez de tirer une carte d’un jeu standard et de trouver la probabilité d’obtenir un cœur. Puis modifiez la question en « un cœur ou un roi » et déterminez si vous devez utiliser la règle de l’addition.

Si vous voulez vérifier une configuration similaire après avoir essayé vous-même, testez votre propre version dans un solveur de maths et comparez d’abord les définitions des événements avant de comparer le résultat final.