Diagramas de árbol de probabilidad — cómo dibujarlos y calcular

Un diagrama de árbol de probabilidad es una representación visual de un proceso aleatorio que ocurre por etapas. Dibujas una rama para cada resultado posible, etiquetas cada rama con su probabilidad, multiplicas a lo largo de un camino completo y sumas los distintos caminos favorables cuando el evento puede ocurrir de más de una forma.

Es más útil cuando las probabilidades posteriores dependen de resultados anteriores. En ese caso, las probabilidades de las ramas posteriores pueden cambiar de un camino a otro, así que el árbol te ayuda a mantener visibles esas condiciones.

Qué muestran los diagramas de árbol de probabilidad

Un árbol de probabilidad parte de un punto y se ramifica hacia afuera. Las primeras ramas muestran la primera etapa del experimento, y las siguientes ramas muestran qué puede ocurrir después de cada resultado anterior.

Cada camino completo representa un escenario completo. Si un problema de bolsa tiene dos extracciones, entonces un camino como $RB$ significa "roja primero, luego azul".

Dos reglas hacen casi todo el cálculo:

$$P(A \text{ then } B) = P(A)P(B \mid A)$$

Usa esta regla para un camino completo. Si la segunda etapa no depende de la primera, entonces $P(B \mid A) = P(B)$, así que la multiplicación es más simple.

Si el evento puede ocurrir por más de un camino favorable, suma las probabilidades de esos caminos.

Cómo dibujar un diagrama de árbol de probabilidad

Empieza nombrando claramente las etapas. Por ejemplo, puedes tener una primera extracción y una segunda extracción, o un primer lanzamiento y un segundo lanzamiento.

Desde cada nodo, dibuja cada resultado posible de esa etapa y etiqueta cada rama con la probabilidad que corresponde en ese nodo. Esta es la parte que los estudiantes suelen hacer con prisa. Si el enunciado dice "sin reemplazo" o da información adicional, las probabilidades de las ramas posteriores pueden cambiar.

Una comprobación rápida detecta muchos errores: las ramas que salen del mismo nodo deben sumar $1$. Si no lo hacen, el árbol está incompleto o una de las probabilidades es incorrecta.

Cuándo multiplicar y cuándo sumar

Multiplica cuando sigues un solo camino y quieres la probabilidad de que varios eventos ocurran en secuencia.

Suma cuando el evento final puede ocurrir por distintos caminos completos. Por ejemplo, "exactamente una roja y una azul" puede ocurrir como $RB$ o $BR$, así que primero calculas cada camino y luego los sumas.

Ejemplo de diagrama de árbol de probabilidad: dos extracciones sin reemplazo

Supón que una bolsa contiene $2$ bolas rojas y $1$ bola azul. Sacas una bola, no la devuelves, y luego sacas una segunda bola. ¿Cuál es la probabilidad de obtener exactamente una roja y una azul?

Empieza el árbol con la primera extracción:

• Roja en la primera extracción: $P(R) = \frac{2}{3}$
• Azul en la primera extracción: $P(B) = \frac{1}{3}$

Ahora actualiza las probabilidades de la segunda extracción en cada rama.

Si la primera bola es roja, en la bolsa queda $1$ roja y $1$ azul, así que:

• $P(R \mid R) = \frac{1}{2}$
• $P(B \mid R) = \frac{1}{2}$

Si la primera bola es azul, en la bolsa quedan $2$ rojas y $0$ azules, así que:

• $P(R \mid B) = 1$
• $P(B \mid B) = 0$

Ahora multiplica a lo largo de cada camino completo:

$$P(RR) = \frac{2}{3}\cdot\frac{1}{2} = \frac{1}{3}$$ $$P(RB) = \frac{2}{3}\cdot\frac{1}{2} = \frac{1}{3}$$ $$P(BR) = \frac{1}{3}\cdot 1 = \frac{1}{3}$$ $$P(BB) = \frac{1}{3}\cdot 0 = 0$$

"Exactamente una roja y una azul" ocurre en dos caminos distintos: $RB$ o $BR$. Suma las probabilidades de esos dos caminos:

$$P(\text{exactly one red and one blue}) = P(RB) + P(BR) = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$$

Esta es la razón principal por la que los diagramas de árbol ayudan tanto. Las probabilidades de la segunda extracción no son fijas; dependen de la primera extracción, y el árbol hace que esa dependencia sea fácil de ver.

Errores comunes con los árboles de probabilidad

Olvidar actualizar las probabilidades posteriores

Si el experimento es sin reemplazo, o si obtienes nueva información después de la primera etapa, las probabilidades siguientes pueden cambiar. Reutilizar la probabilidad inicial en cada rama da un árbol incorrecto.

Sumar cuando deberías multiplicar

A lo largo de un solo camino, estás hallando la probabilidad de que varias cosas ocurran en secuencia, así que multiplicas.

Multiplicar cuando deberías sumar

Si un evento puede ocurrir por más de un camino favorable, como $RB$ o $BR$, calcula cada camino y luego súmalos.

Omitir una rama imposible

A veces una rama tiene probabilidad $0$. Aun así importa porque muestra que el resultado no puede ocurrir desde ese punto.

Cuándo se usan los diagramas de árbol de probabilidad

Los diagramas de árbol son comunes en probabilidad básica, problemas de cartas y extracción de bolas, pruebas médicas con resultados por etapas y cualquier situación en la que los eventos ocurren en orden.

También son una buena transición hacia la probabilidad condicional. Aunque después pases a fórmulas, el árbol suele ser la forma más rápida de ver primero la estructura del problema.

Prueba tu propia versión

Prueba un problema parecido con una bolsa que contiene $3$ bolas verdes y $2$ bolas amarillas. Extrae dos bolas sin reemplazo y halla la probabilidad de que ambas bolas sean del mismo color.

Si quieres dar el siguiente paso, prueba tu propia versión en GPAI Solver y compara tu árbol con una solución paso a paso.