Diagrama de árvore de probabilidade — como desenhar e calcular

Um diagrama de árvore de probabilidade é uma representação visual de um processo aleatório que acontece em etapas. Você desenha um ramo para cada resultado possível, marca cada ramo com sua probabilidade, multiplica ao longo de um caminho completo e soma os diferentes caminhos favoráveis quando o evento pode acontecer de mais de uma forma.

Ele é mais útil quando as probabilidades posteriores dependem dos resultados anteriores. Nesse caso, as probabilidades nos ramos seguintes podem mudar de um caminho para outro, então a árvore ajuda a manter essas condições visíveis.

O que os diagramas de árvore de probabilidade mostram

Uma árvore de probabilidade começa em um ponto e se ramifica para fora. Os primeiros ramos mostram a primeira etapa do experimento, e os ramos seguintes mostram o que pode acontecer depois de cada resultado anterior.

Cada caminho completo representa um cenário completo. Se um problema com bolas tem dois sorteios, então um caminho como $RB$ significa "vermelha primeiro, depois azul".

Duas regras fazem quase todo o cálculo:

$$P(A \text{ then } B) = P(A)P(B \mid A)$$

Use essa regra para um caminho completo. Se a segunda etapa não depende da primeira, então $P(B \mid A) = P(B)$, então a multiplicação fica mais simples.

Se o evento pode acontecer por mais de um caminho favorável, some as probabilidades desses caminhos.

Como desenhar um diagrama de árvore de probabilidade

Comece nomeando as etapas com clareza. Por exemplo, você pode ter um primeiro sorteio e um segundo sorteio, ou um primeiro lançamento e um segundo lançamento.

A partir de cada nó, desenhe todos os resultados possíveis para aquela etapa e marque cada ramo com a probabilidade que vale naquele nó. Essa é a parte que os estudantes costumam fazer com pressa. Se o enunciado disser "sem reposição" ou der informações extras, as probabilidades dos ramos posteriores podem mudar.

Uma verificação rápida encontra muitos erros: os ramos que saem do mesmo nó devem somar $1$. Se isso não acontecer, a árvore está incompleta ou uma das probabilidades está errada.

Quando multiplicar e quando somar

Multiplique quando você permanece em um único caminho e quer a probabilidade de vários eventos acontecerem em sequência.

Some quando o evento final pode acontecer por caminhos completos diferentes. Por exemplo, "exatamente uma vermelha e uma azul" pode acontecer como $RB$ ou $BR$, então você calcula cada caminho primeiro e depois soma.

Exemplo de diagrama de árvore de probabilidade: dois sorteios sem reposição

Suponha que uma bolsa contenha $2$ bolas vermelhas e $1$ bola azul. Você retira uma bola, não a repõe, e depois retira uma segunda bola. Qual é a probabilidade de obter exatamente uma vermelha e uma azul?

Comece a árvore com o primeiro sorteio:

• Vermelha no primeiro sorteio: $P(R) = \frac{2}{3}$
• Azul no primeiro sorteio: $P(B) = \frac{1}{3}$

Agora atualize as probabilidades do segundo sorteio em cada ramo.

Se a primeira bola for vermelha, a bolsa fica com $1$ vermelha e $1$ azul, então:

• $P(R \mid R) = \frac{1}{2}$
• $P(B \mid R) = \frac{1}{2}$

Se a primeira bola for azul, a bolsa fica com $2$ vermelhas e $0$ azuis, então:

• $P(R \mid B) = 1$
• $P(B \mid B) = 0$

Agora multiplique ao longo de cada caminho completo:

$$P(RR) = \frac{2}{3}\cdot\frac{1}{2} = \frac{1}{3}$$ $$P(RB) = \frac{2}{3}\cdot\frac{1}{2} = \frac{1}{3}$$ $$P(BR) = \frac{1}{3}\cdot 1 = \frac{1}{3}$$ $$P(BB) = \frac{1}{3}\cdot 0 = 0$$

"Exatamente uma vermelha e uma azul" acontece em dois caminhos diferentes: $RB$ ou $BR$. Some as probabilidades desses dois caminhos:

$$P(\text{exactly one red and one blue}) = P(RB) + P(BR) = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$$

Esse é o principal motivo pelo qual os diagramas de árvore ajudam tanto. As probabilidades do segundo sorteio não são fixas; elas dependem do primeiro sorteio, e a árvore torna essa dependência fácil de ver.

Erros comuns com árvores de probabilidade

Esquecer de atualizar as probabilidades posteriores

Se o experimento é sem reposição, ou se você recebe novas informações depois da primeira etapa, as próximas probabilidades podem mudar. Reutilizar a probabilidade inicial em todos os ramos produz uma árvore errada.

Somar quando deveria multiplicar

Ao longo de um único caminho, você está encontrando a probabilidade de várias coisas acontecerem em sequência, então deve multiplicar.

Multiplicar quando deveria somar

Se um evento pode acontecer por mais de um caminho favorável, como $RB$ ou $BR$, calcule cada caminho e depois some.

Deixar de fora um ramo impossível

Às vezes, um ramo tem probabilidade $0$. Mesmo assim, ele importa porque mostra que o resultado não pode acontecer a partir daquele ponto.

Quando os diagramas de árvore de probabilidade são usados

Os diagramas de árvore são comuns em probabilidade básica, problemas com cartas e retirada de bolas, testes médicos com resultados em etapas e qualquer situação em que os eventos acontecem em ordem.

Eles também são uma boa ponte para a probabilidade condicional. Mesmo que depois você passe a usar fórmulas, a árvore costuma ser a forma mais rápida de enxergar primeiro a estrutura do problema.

Tente sua própria versão

Tente um problema parecido com uma bolsa que contém $3$ bolas verdes e $2$ bolas amarelas. Retire duas bolas sem reposição e encontre a probabilidade de que ambas tenham a mesma cor.

Se quiser dar o próximo passo depois disso, experimente sua própria versão no GPAI Solver e compare sua árvore com uma solução passo a passo.