Fiche de formules d’intégration

Cette fiche de formules d’intégration présente les règles de primitives standard que les étudiants utilisent d’abord en calcul différentiel et intégral. Utilisez-la lorsque l’intégrande correspond déjà à une forme connue, comme une puissance, $1/x$, une exponentielle ou une fonction trigonométrique simple.

L’idée principale est de reconnaître la bonne forme. Si l’expression est une somme ou une différence, on peut généralement intégrer terme à terme. Si c’est un produit, un quotient ou une composition, il peut falloir utiliser une autre méthode.

Principales formules d’intégration

• Règle de la puissance :

$$\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C, \qquad n \ne -1$$

• Cas logarithmique :

$$\int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C$$

• Règles sur les exponentielles :

$$\int e^x\,dx = e^x + C$$ $$\int a^x\,dx = \frac{a^x}{\ln(a)} + C, \qquad a > 0,\ a \ne 1$$

• Règles trigonométriques de base :

$$\int \sin x\,dx = -\cos x + C$$ $$\int \cos x\,dx = \sin x + C$$ $$\int \sec^2 x\,dx = \tan x + C$$ $$\int \frac{1}{1+x^2}\,dx = \arctan x + C$$

Une règle relie la plupart de ces exemples : la linéarité.

$$\int \left(af(x) + bg(x)\right)\,dx = a\int f(x)\,dx + b\int g(x)\,dx$$

Cela fonctionne pour les sommes et les différences. Cela ne signifie pas qu’on peut séparer un produit en intégrales distinctes.

L’exception que la plupart des étudiants oublient

La règle de la puissance ne fonctionne pas lorsque $n = -1$. Dans ce cas, $x^n = x^{-1} = \frac{1}{x}$, et la primitive est logarithmique :

$$\int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C$$

Écrire $\frac{x^0}{0}$ n’aurait aucun sens, c’est pourquoi ce cas doit être traité à part.

Exemple corrigé utilisant plusieurs formules d’intégration

Calculer

$$\int \left(3x^2 - 4\sin x + 5e^x\right)\,dx$$

Chaque terme correspond à une formule standard, donc on utilise la linéarité et on intègre un terme à la fois :

$$\int 3x^2\,dx = x^3$$ $$\int -4\sin x\,dx = 4\cos x$$ $$\int 5e^x\,dx = 5e^x$$

On additionne les résultats et on ajoute la constante d’intégration :

$$\int \left(3x^2 - 4\sin x + 5e^x\right)\,dx = x^3 + 4\cos x + 5e^x + C$$

Vérification par dérivation :

$$\frac{d}{dx}\left(x^3 + 4\cos x + 5e^x + C\right) = 3x^2 - 4\sin x + 5e^x$$

Cette dernière étape est la façon la plus rapide de repérer une erreur de signe.

Erreurs fréquentes avec les formules d’intégration

1. Oublier la constante d’intégration. Pour une intégrale indéfinie, la réponse doit contenir $+C$.
2. Utiliser la règle de la puissance quand $n=-1$. $\int x^{-1}\,dx$ n’est pas un cas de la règle de la puissance ; c’est $\ln|x| + C$.
3. Séparer un produit comme si l’intégrale se distribuait sur la multiplication. En général, $\int f(x)g(x)\,dx \ne \left(\int f(x)\,dx\right)\left(\int g(x)\,dx\right)$.
4. Recopier des formules de dérivation sans bien les inverser. Par exemple, $\int \sin x\,dx$ vaut $-\cos x + C$, et non $\cos x + C$.

Quand utiliser une formule d’intégration

Utilisez une formule d’intégration directe lorsque l’intégrande correspond déjà à une forme standard après une algèbre simple. Les exemples typiques sont les polynômes, les fonctions trigonométriques de base et les exponentielles simples.

Si l’intégrande ne correspond pas à une forme connue, arrêtez-vous avant de forcer une formule. Les produits demandent souvent une intégration par parties, et les compositions demandent souvent un changement de variable.

Essayez un exercice similaire

Essayez $\int \left(6x - 2\cos x + \frac{3}{1+x^2}\right)\,dx$ par vous-même. Si chaque terme correspond à une formule standard et que votre réponse finale redonne l’intégrande initial après dérivation, alors vous utilisez cette fiche correctement.