Spickzettel zu Integrationsformeln

Dieser Spickzettel zu Integrationsformeln enthält die Standardregeln für Stammfunktionen, die Studierende in der Analysis zuerst verwenden. Nutze ihn, wenn der Integrand bereits zu einem bekannten Muster passt, etwa einer Potenz, $1/x$, einer Exponentialfunktion oder einer einfachen trigonometrischen Funktion.

Die wichtigste Aufgabe ist das Erkennen von Mustern. Wenn der Ausdruck eine Summe oder Differenz ist, kannst du meist gliedweise integrieren. Wenn es sich um ein Produkt, einen Quotienten oder eine Verkettung handelt, brauchst du stattdessen möglicherweise eine andere Methode.

Wichtige Integrationsformeln

• Potenzregel:

$$\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C, \qquad n \ne -1$$

• Logarithmus-Fall:

$$\int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C$$

• Exponentialregeln:

$$\int e^x\,dx = e^x + C$$ $$\int a^x\,dx = \frac{a^x}{\ln(a)} + C, \qquad a > 0,\ a \ne 1$$

• Grundlegende trigonometrische Regeln:

$$\int \sin x\,dx = -\cos x + C$$ $$\int \cos x\,dx = \sin x + C$$ $$\int \sec^2 x\,dx = \tan x + C$$ $$\int \frac{1}{1+x^2}\,dx = \arctan x + C$$

Eine Regel verbindet die meisten dieser Beispiele: die Linearität.

$$\int \left(af(x) + bg(x)\right)\,dx = a\int f(x)\,dx + b\int g(x)\,dx$$

Das funktioniert bei Summen und Differenzen. Es bedeutet nicht, dass man ein Produkt in einzelne Integrale aufteilen darf.

Die Ausnahme, die die meisten übersehen

Die Potenzregel funktioniert nicht, wenn $n = -1$. In diesem Fall gilt $x^n = x^{-1} = \frac{1}{x}$, und die Stammfunktion ist logarithmisch:

$$\int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C$$

$\frac{x^0}{0}$ zu schreiben wäre bedeutungslos, deshalb muss dieser Fall separat behandelt werden.

Durchgerechnetes Beispiel mit mehreren Integrationsformeln

Bestimme

$$\int \left(3x^2 - 4\sin x + 5e^x\right)\,dx$$

Jeder Term passt zu einer Standardformel, also nutze die Linearität und integriere einen Term nach dem anderen:

$$\int 3x^2\,dx = x^3$$ $$\int -4\sin x\,dx = 4\cos x$$ $$\int 5e^x\,dx = 5e^x$$

Addiere die Ergebnisse und ergänze die Integrationskonstante:

$$\int \left(3x^2 - 4\sin x + 5e^x\right)\,dx = x^3 + 4\cos x + 5e^x + C$$

Prüfe durch Ableiten:

$$\frac{d}{dx}\left(x^3 + 4\cos x + 5e^x + C\right) = 3x^2 - 4\sin x + 5e^x$$

Dieser letzte Schritt ist der schnellste Weg, um einen Vorzeichenfehler zu entdecken.

Häufige Fehler bei Integrationsformeln

1. Die Integrationskonstante vergessen. Bei unbestimmten Integralen sollte die Lösung $+C$ enthalten.
2. Die Potenzregel bei $n=-1$ anwenden. $\int x^{-1}\,dx$ ist kein Fall für die Potenzregel, sondern $\ln|x| + C$.
3. Ein Produkt so aufteilen, als würden sich Integrale über Multiplikation verteilen. Im Allgemeinen gilt $\int f(x)g(x)\,dx \ne \left(\int f(x)\,dx\right)\left(\int g(x)\,dx\right)$.
4. Ableitungsregeln abschreiben, ohne sie sorgfältig umzukehren. Zum Beispiel ist $\int \sin x\,dx$ gleich $-\cos x + C$ und nicht $\cos x + C$.

Wann man eine Integrationsformel verwendet

Verwende eine direkte Integrationsformel, wenn der Integrand nach einfacher Umformung bereits zu einem Standardmuster passt. Typische Beispiele sind Polynome, grundlegende trigonometrische Funktionen und einfache Exponentialfunktionen.

Wenn der Integrand nicht zu einer bekannten Form passt, halte inne, bevor du eine Formel erzwingst. Bei Produkten braucht man oft partielle Integration, und bei Verkettungen ist häufig Substitution sinnvoll.

Probiere eine ähnliche Aufgabe

Versuche $\int \left(6x - 2\cos x + \frac{3}{1+x^2}\right)\,dx$ selbst zu lösen. Wenn jeder Term zu einer Standardformel passt und deine endgültige Lösung beim Ableiten wieder den ursprünglichen Integranden ergibt, verwendest du den Spickzettel richtig.