Ringkasan Rumus Integral

Ringkasan rumus integral ini memuat aturan antiturunan standar yang pertama kali digunakan siswa dalam kalkulus. Gunakan saat integran sudah cocok dengan pola yang dikenal seperti pangkat, $1/x$, eksponensial, atau fungsi trigonometri dasar.

Tugas utamanya adalah mencocokkan pola. Jika bentuknya berupa penjumlahan atau pengurangan, biasanya Anda bisa mengintegralkan tiap suku secara terpisah. Jika bentuknya hasil kali, hasil bagi, atau komposisi, Anda mungkin perlu metode lain.

Rumus Integral Utama

• Aturan pangkat:

$$\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C, \qquad n \ne -1$$

• Kasus logaritma:

$$\int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C$$

• Aturan eksponensial:

$$\int e^x\,dx = e^x + C$$ $$\int a^x\,dx = \frac{a^x}{\ln(a)} + C, \qquad a > 0,\ a \ne 1$$

• Aturan trigonometri dasar:

$$\int \sin x\,dx = -\cos x + C$$ $$\int \cos x\,dx = \sin x + C$$ $$\int \sec^2 x\,dx = \tan x + C$$ $$\int \frac{1}{1+x^2}\,dx = \arctan x + C$$

Satu aturan menghubungkan sebagian besar contoh ini: linearitas.

$$\int \left(af(x) + bg(x)\right)\,dx = a\int f(x)\,dx + b\int g(x)\,dx$$

Ini berlaku untuk penjumlahan dan pengurangan. Ini tidak berarti Anda bisa memisahkan hasil kali menjadi integral-integral terpisah.

Pengecualian yang Sering Terlewat

Aturan pangkat tidak berlaku saat $n = -1$. Dalam kasus itu, $x^n = x^{-1} = \frac{1}{x}$, dan antiturunannya berbentuk logaritma:

$$\int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C$$

Menulis $\frac{x^0}{0}$ tidak bermakna, itulah sebabnya kasus ini harus ditangani secara terpisah.

Contoh Soal dengan Beberapa Rumus Integral

Tentukan

$$\int \left(3x^2 - 4\sin x + 5e^x\right)\,dx$$

Setiap suku cocok dengan rumus standar, jadi gunakan linearitas dan integralkan satu suku pada satu waktu:

$$\int 3x^2\,dx = x^3$$ $$\int -4\sin x\,dx = 4\cos x$$ $$\int 5e^x\,dx = 5e^x$$

Jumlahkan hasilnya dan sertakan konstanta integrasi:

$$\int \left(3x^2 - 4\sin x + 5e^x\right)\,dx = x^3 + 4\cos x + 5e^x + C$$

Periksa dengan menurunkan hasilnya:

$$\frac{d}{dx}\left(x^3 + 4\cos x + 5e^x + C\right) = 3x^2 - 4\sin x + 5e^x$$

Langkah terakhir itu adalah cara tercepat untuk menemukan kesalahan tanda.

Kesalahan Umum dalam Rumus Integral

1. Lupa menuliskan konstanta integrasi. Untuk integral tak tentu, jawabannya harus memuat $+C$.
2. Menggunakan aturan pangkat saat $n=-1$. $\int x^{-1}\,dx$ bukan kasus aturan pangkat; hasilnya adalah $\ln|x| + C$.
3. Memisahkan hasil kali seolah-olah integral terdistribusi terhadap perkalian. Secara umum, $\int f(x)g(x)\,dx \ne \left(\int f(x)\,dx\right)\left(\int g(x)\,dx\right)$.
4. Menyalin rumus turunan tanpa membalikkannya dengan hati-hati. Misalnya, $\int \sin x\,dx$ adalah $-\cos x + C$, bukan $\cos x + C$.

Kapan Menggunakan Rumus Integral

Gunakan rumus integral langsung saat integran sudah cocok dengan pola standar setelah aljabar sederhana. Contoh umumnya adalah polinom, fungsi trigonometri dasar, dan eksponensial sederhana.

Jika integran tidak cocok dengan bentuk yang dikenal, berhentilah sebelum memaksakan suatu rumus. Bentuk hasil kali sering memerlukan integrasi parsial, dan komposisi sering memerlukan substitusi.

Coba Soal Serupa

Coba kerjakan $\int \left(6x - 2\cos x + \frac{3}{1+x^2}\right)\,dx$ sendiri. Jika setiap suku cocok dengan rumus standar dan jawaban akhir Anda jika diturunkan kembali menghasilkan integran semula, berarti Anda menggunakan ringkasan ini dengan benar.