สรุปสูตรอินทิเกรตที่ควรรู้

สรุปสูตรอินทิเกรตนี้รวบรวมกฎปริพันธ์ไม่จำกัดเขตมาตรฐานที่นักเรียนมักใช้เป็นอันดับแรกในแคลคูลัส ใช้ได้เมื่อฟังก์ชันใต้เครื่องหมายอินทิกรัลมีรูปตรงกับแบบที่รู้จักอยู่แล้ว เช่น กำลังของ $x$, $1/x$, ฟังก์ชันเอ็กซ์โพเนนเชียล หรือฟังก์ชันตรีโกณมิติพื้นฐาน

หัวใจสำคัญคือการจับรูปแบบของนิพจน์ ถ้านิพจน์เป็นผลบวกหรือผลต่าง โดยทั่วไปมักอินทิเกรตแยกทีละพจน์ได้ แต่ถ้าเป็นผลคูณ ผลหาร หรือฟังก์ชันประกอบ อาจต้องใช้วิธีอื่นแทน

สูตรอินทิเกรตหลัก

• กฎยกกำลัง:

$$\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C, \qquad n \ne -1$$

• กรณีลอการิทึม:

$$\int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C$$

• กฎของฟังก์ชันเอ็กซ์โพเนนเชียล:

$$\int e^x\,dx = e^x + C$$ $$\int a^x\,dx = \frac{a^x}{\ln(a)} + C, \qquad a > 0,\ a \ne 1$$

• กฎตรีโกณมิติพื้นฐาน:

$$\int \sin x\,dx = -\cos x + C$$ $$\int \cos x\,dx = \sin x + C$$ $$\int \sec^2 x\,dx = \tan x + C$$ $$\int \frac{1}{1+x^2}\,dx = \arctan x + C$$

มีกฎหนึ่งที่เชื่อมตัวอย่างส่วนใหญ่เหล่านี้เข้าด้วยกัน คือสมบัติเชิงเส้น

$$\int \left(af(x) + bg(x)\right)\,dx = a\int f(x)\,dx + b\int g(x)\,dx$$

กฎนี้ใช้ได้กับผลบวกและผลต่าง แต่ไม่ได้หมายความว่าคุณจะแยกผลคูณออกเป็นอินทิกรัลแยกกันได้

ข้อยกเว้นที่นักเรียนมักพลาด

กฎยกกำลังใช้ไม่ได้เมื่อ $n = -1$ ในกรณีนั้น $x^n = x^{-1} = \frac{1}{x}$ และปริพันธ์ไม่จำกัดเขตจะเป็นลอการิทึม:

$$\int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C$$

การเขียน $\frac{x^0}{0}$ ไม่มีความหมาย นี่จึงเป็นเหตุผลว่าทำไมกรณีนี้ต้องแยกพิจารณาต่างหาก

ตัวอย่างทำโจทย์โดยใช้หลายสูตรอินทิเกรต

จงหา

$$\int \left(3x^2 - 4\sin x + 5e^x\right)\,dx$$

แต่ละพจน์ตรงกับสูตรมาตรฐานอยู่แล้ว ดังนั้นใช้สมบัติเชิงเส้นและอินทิเกรตทีละพจน์:

$$\int 3x^2\,dx = x^3$$ $$\int -4\sin x\,dx = 4\cos x$$ $$\int 5e^x\,dx = 5e^x$$

นำผลลัพธ์มาบวกกันและใส่ค่าคงที่ของการอินทิเกรต:

$$\int \left(3x^2 - 4\sin x + 5e^x\right)\,dx = x^3 + 4\cos x + 5e^x + C$$

ตรวจคำตอบโดยหาอนุพันธ์:

$$\frac{d}{dx}\left(x^3 + 4\cos x + 5e^x + C\right) = 3x^2 - 4\sin x + 5e^x$$

ขั้นตอนสุดท้ายนี่เป็นวิธีที่เร็วที่สุดในการจับข้อผิดพลาดเรื่องเครื่องหมายบวกหรือลบ

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยเกี่ยวกับสูตรอินทิเกรต

1. ลืมค่าคงที่ของการอินทิเกรต สำหรับปริพันธ์ไม่จำกัดเขต คำตอบควรมี $+C$ เสมอ
2. ใช้กฎยกกำลังเมื่อ $n=-1$ โดย $\int x^{-1}\,dx$ ไม่ใช่กรณีของกฎยกกำลัง แต่เป็น $\ln|x| + C$
3. แยกผลคูณเหมือนกับว่าอินทิกรัลแจกแจงเหนือการคูณได้ โดยทั่วไป $\int f(x)g(x)\,dx \ne \left(\int f(x)\,dx\right)\left(\int g(x)\,dx\right)$
4. คัดลอกสูตรอนุพันธ์มาใช้โดยไม่กลับทิศอย่างระมัดระวัง ตัวอย่างเช่น $\int \sin x\,dx$ คือ $-\cos x + C$ ไม่ใช่ $\cos x + C$

ควรใช้สูตรอินทิเกรตเมื่อไร

ใช้สูตรอินทิเกรตโดยตรงเมื่อฟังก์ชันใต้เครื่องหมายอินทิกรัลตรงกับรูปแบบมาตรฐานอยู่แล้วหลังจากจัดรูปพีชคณิตง่าย ๆ ตัวอย่างที่พบบ่อยคือพหุนาม ฟังก์ชันตรีโกณมิติพื้นฐาน และฟังก์ชันเอ็กซ์โพเนนเชียลอย่างง่าย

ถ้าฟังก์ชันใต้เครื่องหมายอินทิกรัลไม่ตรงกับรูปแบบที่รู้จัก ให้หยุดก่อนอย่าฝืนใช้สูตร ผลคูณมักต้องใช้การอินทิเกรตโดยส่วน และฟังก์ชันประกอบมักต้องใช้การแทนค่า

ลองทำโจทย์ที่คล้ายกัน

ลองทำ $\int \left(6x - 2\cos x + \frac{3}{1+x^2}\right)\,dx$ ด้วยตัวเอง ถ้าทุกพจน์ตรงกับสูตรมาตรฐาน และคำตอบสุดท้ายของคุณหาอนุพันธ์แล้วย้อนกลับไปเป็นฟังก์ชันเดิมได้ แสดงว่าคุณใช้สรุปสูตรนี้ได้ถูกต้อง