Ściąga ze wzorów całkowania

Ta ściąga ze wzorów całkowania zawiera standardowe reguły wyznaczania funkcji pierwotnych, z których uczniowie i studenci najczęściej korzystają na początku analizy matematycznej. Używaj jej wtedy, gdy funkcja podcałkowa ma już znaną postać, taką jak potęga, $1/x$, funkcja wykładnicza lub podstawowa funkcja trygonometryczna.

Najważniejsze jest rozpoznanie wzorca. Jeśli wyrażenie jest sumą lub różnicą, zwykle można całkować każdy składnik osobno. Jeśli jest iloczynem, ilorazem lub złożeniem funkcji, może być potrzebna inna metoda.

Główne wzory całkowania

• Reguła potęgowa:

$$\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C, \qquad n \ne -1$$

• Przypadek logarytmiczny:

$$\int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C$$

• Wzory dla funkcji wykładniczych:

$$\int e^x\,dx = e^x + C$$ $$\int a^x\,dx = \frac{a^x}{\ln(a)} + C, \qquad a > 0,\ a \ne 1$$

• Podstawowe wzory trygonometryczne:

$$\int \sin x\,dx = -\cos x + C$$ $$\int \cos x\,dx = \sin x + C$$ $$\int \sec^2 x\,dx = \tan x + C$$ $$\int \frac{1}{1+x^2}\,dx = \arctan x + C$$

Jedna reguła łączy większość tych przykładów: liniowość.

$$\int \left(af(x) + bg(x)\right)\,dx = a\int f(x)\,dx + b\int g(x)\,dx$$

Działa to dla sum i różnic. Nie oznacza to jednak, że można rozdzielać iloczyn na osobne całki.

Wyjątek, który umyka większości uczniów

Reguła potęgowa nie działa, gdy $n = -1$. Wtedy $x^n = x^{-1} = \frac{1}{x}$, a funkcja pierwotna ma postać logarytmiczną:

$$\int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C$$

Zapisanie $\frac{x^0}{0}$ nie miałoby sensu, dlatego ten przypadek trzeba rozpatrywać osobno.

Przykład rozwiązany z użyciem kilku wzorów całkowania

Oblicz

$$\int \left(3x^2 - 4\sin x + 5e^x\right)\,dx$$

Każdy składnik pasuje do standardowego wzoru, więc korzystamy z liniowości i całkujemy po jednym składniku:

$$\int 3x^2\,dx = x^3$$ $$\int -4\sin x\,dx = 4\cos x$$ $$\int 5e^x\,dx = 5e^x$$

Dodaj wyniki i uwzględnij stałą całkowania:

$$\int \left(3x^2 - 4\sin x + 5e^x\right)\,dx = x^3 + 4\cos x + 5e^x + C$$

Sprawdź przez różniczkowanie:

$$\frac{d}{dx}\left(x^3 + 4\cos x + 5e^x + C\right) = 3x^2 - 4\sin x + 5e^x$$

Ten ostatni krok to najszybszy sposób, by wychwycić błąd znaku.

Typowe błędy przy stosowaniu wzorów całkowania

1. Pomijanie stałej całkowania. Przy całkach nieoznaczonych odpowiedź powinna zawierać $+C$.
2. Stosowanie reguły potęgowej, gdy $n=-1$. $\int x^{-1}\,dx$ nie jest przypadkiem reguły potęgowej; wynik to $\ln|x| + C$.
3. Rozdzielanie iloczynu tak, jakby całka rozkładała się względem mnożenia. Ogólnie $\int f(x)g(x)\,dx \ne \left(\int f(x)\,dx\right)\left(\int g(x)\,dx\right)$.
4. Przepisywanie wzorów na pochodne bez uważnego odwrócenia ich przy całkowaniu. Na przykład $\int \sin x\,dx$ to $-\cos x + C$, a nie $\cos x + C$.

Kiedy używać wzoru całkowania

Użyj bezpośredniego wzoru całkowania wtedy, gdy funkcja podcałkowa po prostych przekształceniach algebraicznych ma już standardową postać. Typowe przykłady to wielomiany, podstawowe funkcje trygonometryczne i proste funkcje wykładnicze.

Jeśli funkcja podcałkowa nie pasuje do znanej postaci, zatrzymaj się, zanim na siłę zastosujesz wzór. Iloczyny często wymagają całkowania przez części, a złożenia funkcji często wymagają podstawienia.

Spróbuj podobnego zadania

Spróbuj samodzielnie obliczyć $\int \left(6x - 2\cos x + \frac{3}{1+x^2}\right)\,dx$. Jeśli każdy składnik pasuje do standardowego wzoru, a Twoja końcowa odpowiedź po zróżniczkowaniu daje z powrotem pierwotną funkcję podcałkową, to znaczy, że korzystasz z tej ściągi we właściwy sposób.